選修甲下 · 單元 18

積分的應用

學會定積分後,它變成一把萬用尺:算兩曲線之間的面積、算旋轉一圈掃出的立體體積,甚至位移、功。核心都是同一招——把東西切成無限薄片再加起來。

1兩曲線之間的面積

面積 = ∫ (上方曲線 − 下方曲線) dx

兩條曲線夾出的區域面積,就是「上面那條」減「下面那條」再積分。想像把區域切成無數直立細長條,每條高度是上下曲線的差,寬是 dx,加起來就是面積。

看夾區: 綠色區域是拋物線 y=4−x² 與直線 y=1 之間。面積 = ∫(4−x²−1)dx,在兩交點之間積分。

V = ∫ π·[f(x)]² dx

把曲線下的區域繞 x 軸旋轉一圈,會掃出一個立體。切成無數薄圓盤,每片是半徑 r = f(x) 的圓,面積 πr²、厚 dx,體積 πr²dx。全部加起來就是體積。

滑動切片: 紅色圓盤是在該位置切下的橫截面,半徑 r = f(x)。整個立體就是這種圓盤從左到右疊起來的總和。