選修甲上 · 單元 17
積分入門
積分在算「曲線下的面積」。方法很直觀:用一堆細長方形填滿它,長方形越切越細,總面積就越精準,極限就是真正的面積——這叫定積分。
1黎曼和:用長方形逼近面積
∫ f dx ≈ Σ f(xᵢ)·Δx，切越細越準
要算曲線下的面積,先把它切成 n 條細長方形加起來。長方形是「寬 × 高」,寬是小區間、高是函數值。n 越大、長方形越細,鋸齒誤差越小,總和就收斂到真正的面積。
2定積分是「有號」面積
x 軸上方算正、下方算負
定積分不是單純的面積:在 x 軸上方的部分算正、下方算負。所以一條對稱的奇函數,正負面積剛好抵消,積分為 0。算「實際面積」時才要分段取絕對值。
微積分基本定理積分與微分互為逆運算!要算 ∫ₐᵇ f(x)dx,只要找到一個「反導數」F(其中 F′=f),答案就是 F(b) − F(a)。這把「求面積」變成「找反導數再相減」,是微積分的核心魔法。
✓本單元重點回顧
- 定積分 = 曲線下有號面積 = 黎曼和 Σf(xᵢ)Δx 在 n→∞ 的極限。
- x 軸上方為正、下方為負;求實際面積需分段取絕對值。
- 反導數 F 滿足 F′=f;基本定理 ∫ₐᵇ f dx = F(b)−F(a)。
- 冪次積分 ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C(n≠−1)。