6 題,對應兩曲線間面積與旋轉體體積。先自己算,再點開解答對答案——面積 = ∫(上−下)dx,先求交點定上下限;旋轉體 V = ∫π[f(x)]² dx,別忘了平方與 π。
求 y = x 與 y = x² 在 [0, 1] 之間圍成的面積。
在 [0,1] 上 x ≥ x²,故上曲線是 y = x。
面積 = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹。
= 1/2 − 1/3 = 3/6 − 2/6 = 1/6。
面積 = 1/6
求 y = 2x 與 y = x² 圍成的面積。
交點:2x = x² → x² − 2x = 0 → x = 0, 2(積分上下限)。
在 (0,2) 上 2x ≥ x²,上曲線是 y = 2x。
面積 = ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³/3]₀² = 4 − 8/3 = 4/3。
面積 = 4/3
求 y = 4 − x² 與 y = x + 2 圍成的面積。
交點:4 − x² = x + 2 → x² + x − 2 = 0 → (x+2)(x−1) = 0 → x = −2, 1。
在此區間拋物線在上方,差 = (4 − x²) − (x + 2) = 2 − x − x²。
面積 = ∫₋₂¹ (2 − x − x²) dx = [2x − x²/2 − x³/3]₋₂¹。
代 x=1:2 − 1/2 − 1/3 = 7/6;代 x=−2:−4 − 2 + 8/3 = −10/3 = −20/6。
= 7/6 − (−20/6) = 27/6 = 9/2。
面積 = 9/2
將 y = x(0 ≤ x ≤ 2)下方區域繞 x 軸旋轉一圈,求所得立體的體積。
圓盤法:V = ∫ₐᵇ π[f(x)]² dx,此處 f(x) = x。
V = ∫₀² π x² dx = π[x³/3]₀² = π·8/3 = 8π/3。
體積 = 8π/3
這其實是底半徑 2、高 2 的圓錐,公式 (1/3)πr²h = (1/3)π·4·2 = 8π/3 ✓。
將 y = √x(0 ≤ x ≤ 4)繞 x 軸旋轉,求體積。
[f(x)]² = (√x)² = x(平方剛好去掉根號)。
V = ∫₀⁴ π x dx = π[x²/2]₀⁴ = π·16/2 = 8π。
體積 = 8π
將 y = x²(0 ≤ x ≤ 1)繞 x 軸旋轉,求體積。
[f(x)]² = (x²)² = x⁴。
V = ∫₀¹ π x⁴ dx = π[x⁵/5]₀¹ = π/5。
體積 = π/5