選修甲下 · 單元 19

機率統計（進階）

把機率和隨機變數推到極致。最驚人的事實是:只要重複次數夠多,幾乎所有分布都會長成同一個鐘形——常態分布。它是統計推論、信賴區間的基石。

1二項分布 → 常態的鐘形

B(n, p)：n 次獨立試驗、成功機率 p

丟 n 次硬幣,「正面出現幾次」服從二項分布。神奇的是:當 n 越大,那排長條就越接近平滑的鐘形曲線(常態)。這就是中央極限定理的雛形——大量隨機的疊加,趨向常態。

拉 n 與 p: 長條是二項分布機率,曲線是對應的常態近似。n 越大,長條越貼合鐘形;p 偏離 0.5 會讓分布歪斜,但 n 一大又會被拉回對稱。

資料落在平均 ± 1σ、±2σ、±3σ 的比例

常態分布對稱如鐘。一個好用的口訣:約 68% 的資料落在 ±1σ 內、95% 在 ±2σ 內、99.7% 在 ±3σ 內。這讓我們能快速判斷「一個值有多罕見」——超過 2σ 就相當少見了。

看三層陰影: 最深的中央區(±1σ)佔約 68%;加上第二層(±2σ)共約 95%;再加第三層(±3σ)達 99.7%。幾乎所有資料都在 3 個標準差內。

標準化與統計推論把任一常態值減平均、除標準差,得到 z 分數(標準常態)。抽樣分布、信賴區間、假設檢定,全都建立在「樣本平均近似常態」這件事上。