8 題,對應不定積分、定積分與面積。先自己算,再點開解答對答案——∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C(記得 +1);定積分用基本定理 F(b)−F(a),定積分不必寫 C。
求下列不定積分:
∫ x³ dx、∫ x² dx、∫ (2x + 3) dx
公式 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C。
∫ x³ dx = x⁴/4 + C。
∫ x² dx = x³/3 + C。
∫ (2x + 3) dx = x² + 3x + C。
x⁴/4 + C;x³/3 + C;x² + 3x + C
求 ∫ (3x² − 4x + 1) dx。
逐項:∫3x²dx = x³、∫−4x dx = −2x²、∫1 dx = x。
x³ − 2x² + x + C
驗算:微分回去 3x² − 4x + 1 ✓。
求 ∫₀² x² dx。
反導數 F(x) = x³/3,再算 F(2) − F(0)。
= 2³/3 − 0 = 8/3。
8/3
求 ∫₁³ 2x dx。
F(x) = x²。
= F(3) − F(1) = 9 − 1 = 8。
8
求 ∫₀¹ (3x² + 2x) dx。
F(x) = x³ + x²。
= F(1) − F(0) = (1 + 1) − 0 = 2。
2
求 y = x² 與 x 軸在 [0, 3] 之間圍成的面積。
此區間 y = x² ≥ 0,面積 = ∫₀³ x² dx。
= [x³/3]₀³ = 27/3 − 0 = 9。
面積 = 9
求定積分 ∫₋₁¹ x³ dx,並說明它與「實際面積」的差別。
F(x) = x⁴/4。
= F(1) − F(−1) = 1/4 − 1/4 = 0。
因 x³ 為奇函數:[−1,0] 在 x 軸下(負)、[0,1] 在上(正),正負剛好抵消 → 定積分 0。
定積分 = 0(但實際面積不為 0,需分段取絕對值:2 × 1/4 = 1/2)
求 y = 4 − x² 與 x 軸圍成的面積。
先求與 x 軸交點:4 − x² = 0 → x = ±2(積分上下限)。
此區間 y ≥ 0,面積 = ∫₋₂² (4 − x²) dx。
反導數 4x − x³/3;代 x=2:8 − 8/3 = 16/3;代 x=−2:−8 + 8/3 = −16/3。
= 16/3 − (−16/3) = 32/3。
面積 = 32/3 ≈ 10.67
技巧:偶函數對稱,也可算 2·∫₀² (4−x²) dx = 2·(16/3) = 32/3。