選修甲上 · 單元 15

極限與函數

極限是微積分的地基:研究「當 x 無限接近某值,函數會往哪裡去」。最重要的畫面是——一條割線,當兩點越靠越近,會變成切線。這就是導數的來源。

1割線逼近切線(導數的雛形)

當 h → 0，割線斜率 f(a+h) − f(a)h → 切線斜率

在曲線上取 A、B 兩點連成割線。讓 B 沿曲線滑向 A(也就是 h → 0),割線會慢慢躺成切線。切線的斜率,就是函數在 A 點的「瞬間變化率」——導數。

把 h 拉小: 看橘色割線逐漸貼合紫色切線。割線斜率會越來越靠近切線斜率——這個「靠近的目標值」就是極限。

lim(x→1) 只問「靠近時往哪去」,不問「那一點的值」

函數 f(x) = (x²−1)/(x−1) 在 x = 1 沒有定義(分母為 0),圖上是一個破洞。但當 x 從左右兩邊逼近 1,函數值都趨向 2。所以極限存在 = 2,即使該點本身不存在。

讓 x 逼近 1: 無論從左邊還右邊靠近那個空心洞,函數值都朝 2 去。極限看的是「趨勢」,不是「落點」。

連續 ⟺ 極限值 = 函數值,圖形不斷不跳不破

一個函數連續,直覺就是「筆不離開紙就能畫完」。斷點有三種:跳躍(左右極限不同)、破洞(該點無定義)、無窮(衝向無限)。

看斷點: 左半段連續可一筆畫成;到 x = 1 向上跳一階(跳躍不連續),筆得抬起來。極限存在但左右不相等,就不連續。