二次曲線

1拋物線:到焦點 = 到準線

動點到「焦點」與到「準線」的距離相等

拋物線上每一點,到焦點的距離都等於它到準線的距離。這對稱性正是為什麼衛星天線、車頭燈是拋物面——平行光打進來,全部反射匯聚到焦點。

2橢圓:到兩焦點的距離「和」固定

PF₁ + PF₂ = 2a（定值）

拿一條固定長度的繩子,兩端釘在兩個焦點,筆尖拉緊繞一圈畫出的就是橢圓。橢圓上每一點,到兩焦點的距離相加都等於 2a(繩長),恆定不變。

3雙曲線:到兩焦點的距離「差」固定

| PF₁ − PF₂ | = 2a（定值）

把「相加固定」改成「相減固定」,就得到雙曲線——兩條開口相背的曲線。GPS、雙曲線定位就是用「訊號到兩點的時間差(即距離差)固定」來鎖定位置。

✓本單元重點回顧

• 拋物線:到焦點 = 到準線;x²=4py,焦點 (0,p)、準線 y=−p。
• 橢圓:PF₁+PF₂=2a;x²/a²+y²/b²=1,c²=a²−b²。
• 雙曲線:|PF₁−PF₂|=2a;x²/a²−y²/b²=1,c²=a²+b²,漸近線 y=±(b/a)x。
• 三者都是圓錐被平面切出的截痕(圓錐曲線),差別在切的角度。