9 題,對應函數極限、連續、導數的定義。先自己算,再點開解答對答案——遇到「代入變 0/0」別放棄,先因式分解約分;導數定義題記得先算差商再取 h→0。
求 lim(x→2) (x² + 3x − 1)。
多項式在每一點都連續,可直接代入。
= 2² + 3·2 − 1 = 4 + 6 − 1 = 9。
9
求 lim(x→3) (x² − 9)/(x − 3)。
直接代入分子分母都是 0(0/0),須先化簡。
x² − 9 = (x − 3)(x + 3),約掉 (x − 3)。
= lim(x→3) (x + 3) = 6。
6
求 lim(x→1) (x² + x − 2)/(x − 1)。
分子 x² + x − 2 = (x + 2)(x − 1)。
約掉 (x − 1):= lim(x→1) (x + 2) = 3。
3
設 f(x) = x + 1(當 x < 2)、f(x) = x(當 x ≥ 2)。判斷 f 在 x = 2 是否連續。
連續要「左極限 = 右極限 = 函數值」三者相等。
左極限(x→2⁻):x + 1 → 2 + 1 = 3。
右極限(x→2⁺):x → 2;函數值 f(2) = 2。
左極限 3 ≠ 右極限 2 → 極限不存在。
不連續(x = 2 為跳躍不連續)
設 f(x) = x² + 1(當 x < 2)、f(x) = ax − 1(當 x ≥ 2)。求 a 使 f 在 x = 2 連續。
連續 ⟺ 左極限 = 右極限(在 x=2 接得起來)。
左極限:x² + 1 → 2² + 1 = 5。
右極限 = f(2):a·2 − 1 = 2a − 1。
令 2a − 1 = 5 → 2a = 6 → a = 3。
a = 3
設 f(x) = x²。求過 A(1, 1) 與 B(1+h, f(1+h)) 的割線斜率,並說明 h → 0 時它趨近多少。
割線斜率 = [f(1+h) − f(1)] / h。
= [(1+h)² − 1] / h = [1 + 2h + h² − 1] / h = (2h + h²)/h = 2 + h。
h → 0 時,2 + h → 2。
割線斜率 2 + h;h→0 時趨近 2(即切線斜率 f′(1))
用定義 f′(a) = lim(h→0) [f(a+h) − f(a)]/h 求 f(x) = x² 在 x = 3 的導數。
f′(3) = lim(h→0) [(3+h)² − 3²]/h。
= lim(h→0) [9 + 6h + h² − 9]/h = lim(h→0) (6h + h²)/h = lim(h→0)(6 + h) = 6。
f′(3) = 6
對照公式:(x²)′ = 2x,x=3 得 6 ✓。
用定義求 f(x) = x² 的導函數 f′(x)。
f′(x) = lim(h→0) [(x+h)² − x²]/h。
= lim(h→0) [x² + 2xh + h² − x²]/h = lim(h→0) (2xh + h²)/h = lim(h→0)(2x + h) = 2x。
f′(x) = 2x
用定義求 f(x) = 1/x 在 x = 2 的導數。
f′(2) = lim(h→0) [1/(2+h) − 1/2] / h。
分子通分:1/(2+h) − 1/2 = [2 − (2+h)] / [2(2+h)] = −h / [2(2+h)]。
除以 h:= −1 / [2(2+h)]。
h → 0:= −1 / (2·2) = −1/4。
f′(2) = −1/4