12 題,對應拋物線、橢圓、雙曲線與三者的定義。先自己算,再點開解答對答案——橢圓 c²=a²−b²、雙曲線 c²=a²+b²,兩個符號千萬別記反。
求拋物線 x² = 8y 的焦點與準線。
標準式 x² = 4py,比對 4p = 8 → p = 2。
開口向上:焦點 (0, p) = (0, 2),準線 y = −p = −2。
焦點 (0, 2),準線 y = −2
頂點在原點、焦點為 (0, 3) 的拋物線方程式為何?
焦點在 y 軸正向 → 開口向上,x² = 4py,且 p = 3。
x² = 4·3·y = 12y。
x² = 12y
求拋物線 y² = 4x 的焦點與準線。
形如 y² = 4px 是開口向右,比對 4p = 4 → p = 1。
焦點在 x 軸:(p, 0) = (1, 0),準線 x = −p = −1。
焦點 (1, 0),準線 x = −1
口訣:平方哪個變數,對稱軸就沿另一個變數的軸。
橢圓 x²/25 + y²/9 = 1。求 a、b、c、焦點,以及長軸、短軸長。
分母大者為 a²:a² = 25 → a = 5(長軸沿 x);b² = 9 → b = 3。
c² = a² − b² = 25 − 9 = 16 → c = 4。
焦點在長軸上:(±4, 0);長軸 = 2a = 10,短軸 = 2b = 6。
a=5, b=3, c=4;焦點 (±4, 0);長軸 10、短軸 6
焦點為 (±3, 0)、長半軸 a = 5 的橢圓方程式為何?
c = 3、a = 5,由 c² = a² − b² 求 b²。
b² = a² − c² = 25 − 9 = 16。
焦點在 x 軸 → 長軸沿 x:x²/25 + y²/16 = 1。
x²/25 + y²/16 = 1
橢圓 x²/16 + y²/25 = 1。求焦點座標。
分母大者 25 在 y² 下方 → 長軸沿 y 軸,a² = 25(a=5),b² = 16(b=4)。
c² = a² − b² = 25 − 16 = 9 → c = 3。
焦點在長軸(y 軸)上:(0, ±3)。
焦點 (0, ±3)
關鍵:焦點永遠在「長軸」上;先看哪個分母大來定方向。
雙曲線 x²/9 − y²/16 = 1。求 a、b、c、焦點與漸近線。
a² = 9 → a = 3;b² = 16 → b = 4。
雙曲線用 c² = a² + b²(加號!)= 9 + 16 = 25 → c = 5。
焦點 (±5, 0);漸近線 y = ±(b/a)x = ±(4/3)x。
a=3, b=4, c=5;焦點 (±5, 0);漸近線 y = ±(4/3)x
焦點 (±5, 0)、貫軸長 2a = 6 的雙曲線方程式為何?
a = 3、c = 5,由 c² = a² + b² 求 b²。
b² = c² − a² = 25 − 9 = 16。
焦點在 x 軸:x²/9 − y²/16 = 1。
x²/9 − y²/16 = 1
求雙曲線 x²/4 − y²/9 = 1 的漸近線與焦點。
a² = 4(a=2)、b² = 9(b=3)。
漸近線 y = ±(b/a)x = ±(3/2)x。
c² = a² + b² = 4 + 9 = 13 → c = √13。
漸近線 y = ±(3/2)x;焦點 (±√13, 0)
求「到點 F(0, 2) 與到直線 y = −2 距離相等」的點的軌跡方程式。
到焦點 = 到準線,正是拋物線定義;焦點 (0,2)、準線 y=−2 → p = 2、開口向上。
x² = 4py = 4·2·y = 8y。
x² = 8y
（也可設點 (x,y):√(x²+(y−2)²) = |y+2|,兩邊平方化簡得同一式。）
求「到兩定點 F₁(−4, 0)、F₂(4, 0) 距離和為 10」的點的軌跡方程式。
距離和固定 = 橢圓,PF₁+PF₂ = 2a = 10 → a = 5;焦距 c = 4。
b² = a² − c² = 25 − 16 = 9。
x²/25 + y²/9 = 1
求「到兩定點 F₁(−5, 0)、F₂(5, 0) 距離差(絕對值)為 6」的點的軌跡方程式。
距離差固定 = 雙曲線,|PF₁−PF₂| = 2a = 6 → a = 3;焦距 c = 5。
b² = c² − a² = 25 − 9 = 16。
x²/9 − y²/16 = 1
對照橢圓(和固定)與雙曲線(差固定):一個 c²=a²−b²、一個 c²=a²+b²。