數學A 第四冊 · 單元 13

矩陣

別把矩陣只當成一堆數字。一個 2×2 矩陣,就是一個「把整個平面拉扯變形」的動作——旋轉、縮放、推移、鏡射。理解這件事,矩陣就活過來了。

1矩陣是一種「平面變形」

M = [ a b ; c d ]，兩個直行就是變形後的基底

矩陣的第一行 (a, c) 是 x 軸單位向量 î 被送到的位置,第二行 (b, d) 是 ĵ 的新位置。整個網格跟著這兩支新基底一起被拉扯。試試下面的預設,或自己拉四個數字。

拉四個數字: î → (a, c)、ĵ → (b, d)。淡色細格是原本的網格,紫色是變形後的網格,黃色平行四邊形是單位正方形的像。

det M = ad − bc

上圖那塊黃色平行四邊形的面積,就是 |det M|——它告訴你「這個變形把面積放大或縮小幾倍」。若 det = 0,整個平面被壓扁成一條線(面積歸零,不可逆);若 det < 0,平面被翻面(鏡射)。

看上圖的即時數值調整矩陣時,注意黃色面積 = |det|。當你把兩行調成平行(例如 a b 與 c d 成比例),det → 0,平行四邊形塌成一條線 —— 這時矩陣沒有反矩陣。

每個方程式是一條線,解就是它們的交點

解二元一次聯立,幾何上就是找兩條直線的交點。若兩線相交於一點 → 唯一解;若平行(det = 0)→ 無解或無限多解。矩陣的行列式,正好判斷這件事。

拉係數 s: 改變第二條線的斜率。看交點如何移動;當兩線變平行(det=0),交點跑到無窮遠 —— 聯立無唯一解。