數學A 第四冊 · 單元 12

空間中的直線與平面

平面由一個法向量(垂直它的箭頭)完全決定方向;直線由一個方向向量決定走向。空間幾何的夾角、距離問題,幾乎都化成這些向量的內積與外積。

💡 圖可拉滑桿旋轉,轉一轉更能看出「垂直」的關係。

1平面與它的法向量

ax + by + cz = d ，法向量 n = (a, b, c)

平面方程式的係數 (a, b, c) 就是法向量——一支垂直於整個平面的箭頭。只要知道「一個點 + 法向量」,平面就唯一確定了。兩平面的夾角,就是兩法向量的夾角。

旋轉視角: 藍色平面上任意方向都與紅色法向量 n 垂直。轉一圈,你會看到 n 始終直挺挺地戳出平面。

d = |a·x₀ + b·y₀ + c·z₀ − d₀|√(a² + b² + c²)

和「點到直線」同一個道理:最短距離是沿著法向量方向的垂直線段。從空間中的點,朝法向量方向筆直落到平面上,那段長度就是距離。

旋轉視角: 綠點 P 沿法向量垂直落到平面的腳點 F,PF 的長度就是距離。轉動確認 PF 真的垂直於平面。

直線的參數式空間直線 = 一個點 + 方向向量:(x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + t·(l,m,n)。直線與平面的夾角,用方向向量與法向量的內積求。