單元總覽/題庫/13 矩陣
第四冊 · 題庫 13

矩陣 · 題庫

12 題,對應四大主題:矩陣運算與行列式、反矩陣、線性方程組、線性變換。先自己算,再點開解答對答案——矩陣乘法「列×行」順序不可交換,行列式 ad−bc 的符號別漏。

基礎 進階 挑戰
群組 1 · 矩陣運算與行列式
1-1加法與係數積基礎

設 A = [1 2; 3 4]、B = [0 −1; 2 1]。求 A + B 與 2A。

解答

加法與係數積都是「對應位置各自運算」。

A + B = [1+0 2+(−1); 3+2 4+1] = [1 1; 5 5]。

2A = [2·1 2·2; 2·3 2·4] = [2 4; 6 8]。

A+B = [1 1; 5 5]，2A = [2 4; 6 8]

1-2二階行列式基礎

計算下列行列式 det[a b; c d] = ad − bc:

[3 1; 2 4]、[2 −1; 4 3]、[1 2; 2 4]

解答

[3 1; 2 4]:3·4 − 1·2 = 12 − 2 = 10。

[2 −1; 4 3]:2·3 − (−1)·4 = 6 + 4 = 10。

[1 2; 2 4]:1·4 − 2·2 = 4 − 4 = 0。

10、10、0

第三個 det = 0 → 兩列成比例,該矩陣不可逆。

1-3矩陣乘法進階

設 A = [1 2; 3 4]、B = [2 0; 1 3]。求 AB。

解答

乘法規則:AB 的第 (i,j) 項 = A 第 i 列 · B 第 j 行。

(1,1) = 1·2 + 2·1 = 4;(1,2) = 1·0 + 2·3 = 6。

(2,1) = 3·2 + 4·1 = 10;(2,2) = 3·0 + 4·3 = 12。

AB = [4 6; 10 12]

注意:AB ≠ BA(矩陣乘法不可交換),順序不能隨意調。

群組 2 · 反矩陣
2-1反矩陣(det=1)基礎

求 A = [2 1; 3 2] 的反矩陣。

解答

公式:A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a](主對角互換、副對角變號)。

det = 2·2 − 1·3 = 1。

A⁻¹ = (1/1)·[2 −1; −3 2] = [2 −1; −3 2]。

A⁻¹ = [2 −1; −3 2]

驗算:A·A⁻¹ = [2·2+1·(−3) 2·(−1)+1·2; …] = [1 0; 0 1] ✓。

2-2反矩陣(含分數)進階

求 A = [1 2; 3 4] 的反矩陣。

解答

det = 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2。

A⁻¹ = (1/−2)·[4 −2; −3 1]。

= [4/(−2) −2/(−2); −3/(−2) 1/(−2)] = [−2 1; 3/2 −1/2]。

A⁻¹ = [−2 1; 3/2 −1/2]

2-3可逆判斷進階

下列哪個矩陣可逆?A = [2 4; 1 2]、B = [1 3; 2 5]。

解答

可逆 ⟺ det ≠ 0。

det A = 2·2 − 4·1 = 0 → A 不可逆。

det B = 1·5 − 3·2 = 5 − 6 = −1 ≠ 0 → B 可逆。

只有 B 可逆

群組 3 · 線性方程組
3-1解聯立基礎

解 x + y = 5、x − y = 1。

解答

兩式相加:2x = 6 → x = 3。

代回 x + y = 5:y = 2。

x = 3，y = 2

幾何上就是兩直線的交點 (3, 2)。

3-2代入消去進階

解 2x + 3y = 8、x − y = −1。

解答

由第二式 x = y − 1,代入第一式。

2(y − 1) + 3y = 8 → 5y − 2 = 8 → 5y = 10 → y = 2。

x = y − 1 = 1。

x = 1，y = 2

驗算:2·1 + 3·2 = 8 ✓、1 − 2 = −1 ✓。

3-3用行列式判斷解挑戰

判斷 2x + 3y = 8、4x + 6y = 5 有幾組解。

解答

係數行列式 det[2 3; 4 6] = 2·6 − 3·4 = 12 − 12 = 0 → 無唯一解。

再看是否一致:第二式 4x+6y 應為第一式的 2 倍 = 16,但題目給 5 ≠ 16。

兩直線平行但不重合 → 無交點。

無解(兩直線平行)

若右邊剛好是 16,則兩式相同 → 無限多解。

群組 4 · 線性變換
4-1旋轉變換基礎

旋轉 90° 的矩陣是 [0 −1; 1 0]。求它把點 (2, 3) 送到哪裡。

解答

矩陣乘向量:[0 −1; 1 0]·(2, 3)。

新 x = 0·2 + (−1)·3 = −3;新 y = 1·2 + 0·3 = 2。

(2, 3) → (−3, 2)

檢查:兩點到原點距離都是 √13,旋轉不改變長度 ✓。

4-2由基底像求矩陣進階

某線性變換把 î = (1,0) 送到 (2, 0)、把 ĵ = (0,1) 送到 (1, 3)。寫出變換矩陣,並求 (1, 1) 的像。

解答

關鍵:矩陣的兩直行,就是 î、ĵ 變換後的位置。

矩陣 M = [2 1; 0 3](第一行 (2,0)、第二行 (1,3))。

(1,1) 的像 = M·(1,1) = (2·1+1·1, 0·1+3·1) = (3, 3)。

M = [2 1; 0 3];(1,1) → (3, 3)

4-3行列式與面積挑戰

單位正方形(面積 1)經矩陣 [3 1; 0 2] 變換後,面積變成多少?

解答

線性變換的面積縮放倍率 = |det|。

det[3 1; 0 2] = 3·2 − 1·0 = 6。

新面積 = 原面積 × |det| = 1 × 6 = 6。

面積 = 6

若 det 為負,面積倍率取絕對值,負號代表圖形被翻面(鏡射)。