11 題,對應四大主題:平面與法向量、點到平面距離、空間直線、夾角。先自己算,再點開解答對答案——記住「係數即法向量」、距離公式分母是 √(a²+b²+c²)。
平面 2x − y + 3z = 6。寫出它的法向量,並求 x、y、z 三軸截距。
平面 ax+by+cz=d 的法向量就是係數 (a, b, c)。
法向量 = (2, −1, 3)。
x 截距(令 y=z=0):2x=6 → x=3 → (3, 0, 0)。
y 截距:−y=6 → y=−6 →(0, −6, 0);z 截距:3z=6 → z=2 →(0, 0, 2)。
法向量 (2, −1, 3);截距 (3,0,0)、(0,−6,0)、(0,0,2)
求通過 P(1, 2, −1) 且以 n = (3, 1, −2) 為法向量的平面方程式。
平面式:n·(X − P) = 0,即 3(x−1) + 1(y−2) − 2(z−(−1)) = 0。
3(x−1) + (y−2) − 2(z+1) = 3x − 3 + y − 2 − 2z − 2 = 0。
整理:3x + y − 2z − 7 = 0。
3x + y − 2z = 7
驗算:代 P(1,2,−1):3 + 2 + 2 = 7 ✓。
求通過 A(1, 0, 0)、B(0, 2, 0)、C(0, 0, 3) 的平面方程式。
三點都是軸截距,直接用截距式 x/1 + y/2 + z/3 = 1。
兩邊乘 6(分母最小公倍數):6x + 3y + 2z = 6。
6x + 3y + 2z = 6（法向量 (6, 3, 2)）
驗算:A→6=6、B→6=6、C→6=6 ✓。
求點 P(1, 2, 3) 到平面 x + 2y + 2z = 5 的距離。
距離 = |a x₀ + b y₀ + c z₀ − d| / √(a²+b²+c²)。
分子 = |1·1 + 2·2 + 2·3 − 5| = |1 + 4 + 6 − 5| = 6。
分母 = √(1² + 2² + 2²) = √9 = 3。
距離 = 6 / 3 = 2。
距離 = 2
求點 P(2, −1, 3) 到平面 2x − 2y + z + 3 = 0 的距離。
平面寫成 2x − 2y + z = −3,直接代 ax₀+by₀+cz₀+(常數) 亦可。
分子 = |2·2 − 2·(−1) + 1·3 + 3| = |4 + 2 + 3 + 3| = 12。
分母 = √(2² + (−2)² + 1²) = √9 = 3。
距離 = 12 / 3 = 4。
距離 = 4
求兩平行平面 x + 2y + 2z = 3 與 x + 2y + 2z = 12 之間的距離。
平行平面法向量相同,距離 = |d₁ − d₂| / √(a²+b²+c²)。
= |12 − 3| / √(1 + 4 + 4) = 9 / 3 = 3。
距離 = 3
也可在其中一面上取一點,再算它到另一面的距離,答案相同。
寫出通過 P(1, 0, 2)、方向向量 (2, −1, 3) 的直線參數式。
(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + t·(方向向量)。
(x, y, z) = (1, 0, 2) + t(2, −1, 3)。
x = 1 + 2t，y = −t，z = 2 + 3t
點 Q(5, −2, 8) 是否在直線 (1, 0, 2) + t(2, −1, 3) 上?
逐分量解出 t,看是否一致。
x:1 + 2t = 5 → t = 2;y:−t = −2 → t = 2;z:2 + 3t = 8 → t = 2。
三式都得 t = 2,一致。
Q 在直線上(t = 2)
只要有一個分量解出的 t 不同,點就不在線上。
兩直線的方向向量分別是 (1, 2, 2) 與 (2, −1, 0)。求兩直線的夾角。
直線夾角 = 方向向量的夾角,用內積。
內積 = 1·2 + 2·(−1) + 2·0 = 2 − 2 + 0 = 0。
內積為 0 → 兩直線垂直(夾角 90°)
求兩平面 x + y = 1 與 x − y = 3 的夾角。
兩平面夾角 = 兩法向量的夾角。n₁ = (1, 1, 0)、n₂ = (1, −1, 0)。
n₁·n₂ = 1·1 + 1·(−1) + 0 = 0。
法向量垂直 → 兩平面互相垂直(夾角 90°)
求方向向量 (1, 0, 1) 的直線,與平面 z = 0 的夾角。
直線與平面夾角 θ 滿足 sin θ = |d·n| / (|d||n|)(用方向向量 d 與法向量 n)。
平面 z=0 的法向量 n = (0, 0, 1);d = (1, 0, 1)。
d·n = 1;|d| = √2、|n| = 1 → sin θ = 1/√2。
θ = 45°
注意:這裡用 sin(不是 cos),因為法向量與平面差了 90°。