數學A 第四冊 · 單元 11

空間向量

把平面向量多加一個座標,就進入 3D。內積照舊(判垂直、求夾角);多出來的外積會生出一個「同時垂直兩向量」的新向量,它的長度剛好是平行四邊形面積。

💡 下面的圖可以拉滑桿旋轉視角,轉一轉會更有立體感。

1空間座標與向量長度

v = (x, y, z)， |v| = √(x² + y² + z²)

空間中一個點要用三個座標定位。向量 (x, y, z) 就像「先走 x、再走 y、再爬 z」。它的長度用兩次畢氏定理得到:先在底面對角線,再往上補一次。

旋轉視角: 綠色向量指向 (3, 2.5, 2)。虛線盒子顯示它怎麼由 x、y、z 三段接成——轉動一下,立體結構就出來了。

a × b ⊥ 平面(a, b)， |a × b| = 平行四邊形面積

外積 a × b 是空間專屬的運算:結果同時垂直 a 和 b(方向用右手定則),長度等於 a、b 張出的平行四邊形面積。求法向量、算面積與體積,全靠它。

旋轉視角: a 與 b 張出藍色平行四邊形(躺在地面),紅色 a×b 直直往上戳,垂直於整個平面。轉一圈確認它真的垂直。

內積 vs 外積內積 a·b 得到一個數(判垂直、求夾角);外積 a×b 得到一個向量(求法向量、面積)。三向量的行列式 = 平行六面體體積 = a·(b×c)。