數學A 第三冊 · 單元 10

平面向量

向量是「有方向的量」——一支箭頭,同時帶著大小與方向。它讓幾何問題變成可以「相加、相乘」的代數運算,是物理與高維幾何的共同語言。

1向量加法:首尾相接

a + b：把 b 接在 a 的箭頭後面

兩向量相加有兩種看法,結果一樣:三角形法則(把 b 的尾巴接到 a 的頭)或平行四邊形法則(從同一起點畫出,對角線就是和)。座標上就是對應分量各自相加。

拉動 b: 藍色 a 固定,改變橘色 b,看綠色 a+b 如何變化。淡色虛線圍出的平行四邊形,對角線正是 a+b。

a · b = |a| |b| cos θ

內積衡量「兩向量有多同方向」。它等於「b 投影到 a 上的長度,再乘以 |a|」。夾角越小內積越大;夾角 90° 時內積 = 0(垂直);夾角鈍角時內積為負。這是判斷垂直、求角度的利器。

轉動 b 的夾角: 紫色是 b 在 a 上的投影。看內積在垂直(90°)時歸零、鈍角時變負。投影就是「b 在 a 方向上的影子」。

P = (1 − t)·A + t·B

用向量描述線段上任一點超級簡單:P = (1−t)A + tB。t = 0 在 A、t = 1 在 B、t = ½ 在中點。這種「兩點的加權平均」就是分點公式,也是後面參數式、重心的基礎。

拉參數 t: 紅點 P 沿線段 AB 滑動。t 就是「從 A 走向 B 的進度」,分點比 AP : PB = t : (1−t)。