14 題,對應單元四大主題:座標與長度、內積與夾角、外積與面積、行列式與體積。先自己算,再點開解答對答案——外積的分量公式與行列式展開最易出錯,務必逐項對號。
求下列向量的長度 |v| = √(x² + y² + z²):
v = (2, −1, 2)、w = (1, 2, 2)、u = (2, 3, 6)
|v| = √(2² + (−1)² + 2²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3。
|w| = √(1² + 2² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3。
|u| = √(2² + 3² + 6²) = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7。
3、3、7
和平面一樣是畢氏,只是多加一項 z²;負號平方後變正。
求空間中 A(1, 0, 2) 與 B(3, −2, 4) 的距離。
先求向量 AB = B − A = (3 − 1, −2 − 0, 4 − 2) = (2, −2, 2)。
距離 = |AB| = √(2² + (−2)² + 2²) = √(4 + 4 + 4) = √12 = 2√3。
距離 = 2√3 ≈ 3.46
設 a = (1, 2, 2)。求與 a 同方向的單位向量,及與 a 同方向、長度為 6 的向量。
|a| = √(1² + 2² + 2²) = √9 = 3。
單位向量 = a / |a| = (1/3, 2/3, 2/3)。
長度 6 的向量 = 6 × 單位向量 = (6/3, 12/3, 12/3) = (2, 4, 4)。
單位向量 (1/3, 2/3, 2/3);長度 6 者 (2, 4, 4)
驗算:|(2, 4, 4)| = √(4 + 16 + 16) = √36 = 6 ✓。
用 a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ 計算 a = (1, 2, 3)、b = (4, −1, 2) 的內積。
a · b = 1·4 + 2·(−1) + 3·2 = 4 − 2 + 6 = 8。
a · b = 8
和平面內積同樣是「分量乘積相加」,結果是一個數。
判斷 a = (1, 2, −1) 與 b = (3, −1, 1) 是否垂直。
垂直 ⟺ 內積 = 0。
a · b = 1·3 + 2·(−1) + (−1)·1 = 3 − 2 − 1 = 0。
內積為 0 → a ⊥ b(互相垂直)
設 a = (2, −1, 3)、b = (1, k, −1)。若 a ⊥ b,求 k。
令 a · b = 0:2·1 + (−1)·k + 3·(−1) = 0。
2 − k − 3 = 0 → −1 − k = 0 → k = −1。
k = −1
驗算:a · b = 2 + 1 − 3 = 0 ✓。
求 a = (1, 0, 1) 與 b = (0, 1, 1) 的夾角 θ。
cos θ = (a · b) / (|a| |b|)。
a · b = 1·0 + 0·1 + 1·1 = 1。
|a| = √(1 + 0 + 1) = √2、|b| = √(0 + 1 + 1) = √2。
cos θ = 1 / (√2·√2) = 1/2。
θ = 60°
空間三點 A(1, 0, 0)、B(0, 1, 0)、C(0, 0, 1)。求三角形在頂點 A 的內角。
頂點 A 的內角 = 向量 AB 與 AC 的夾角。
AB = B − A = (−1, 1, 0)、AC = C − A = (−1, 0, 1)。
AB · AC = (−1)(−1) + 1·0 + 0·1 = 1。
|AB| = √2、|AC| = √2 → cos = 1 / 2。
頂角 A = 60°
其實此三角形三邊皆 √2(正三角形),三個內角都是 60°。
求外積 a × b,其中 a = (2, 1, 0)、b = (1, 3, 0)。
公式 a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)。
第一分量:1·0 − 0·3 = 0。
第二分量:0·1 − 2·0 = 0。
第三分量:2·3 − 1·1 = 6 − 1 = 5。
a × b = (0, 0, 5)
a、b 都在 xy 平面,外積必沿 z 軸,與兩者都垂直 ✓。
求同時垂直 a = (1, 1, 0) 與 b = (0, 1, 1) 的向量(即 a × b),並求其長度。
第一分量:1·1 − 0·1 = 1。
第二分量:0·0 − 1·1 = −1。
第三分量:1·1 − 1·0 = 1。
a × b = (1, −1, 1),長度 = √(1 + 1 + 1) = √3。
a × b = (1, −1, 1),長度 √3
驗算:(1,−1,1)·a = 1−1+0 = 0、·b = 0−1+1 = 0,確實垂直兩者 ✓。
求空間三角形 A(1, 1, 1)、B(3, 1, 2)、C(1, 4, 1) 的面積。
面積 = ½·|AB × AC|(外積長度 = 平行四邊形面積,三角形取一半)。
AB = (2, 0, 1)、AC = (0, 3, 0)。
AB × AC = (0·0 − 1·3, 1·0 − 2·0, 2·3 − 0·0) = (−3, 0, 6)。
|AB × AC| = √(9 + 0 + 36) = √45 = 3√5。
面積 = ½·3√5 = (3√5)/2。
面積 = (3√5)/2 ≈ 3.35
計算三階行列式(依第一列展開):
| 1 2 0 ; 0 1 3 ; 2 0 1 |
沿第一列 (1, 2, 0) 展開,注意符號 +、−、+。
= 1·|1 3; 0 1| − 2·|0 3; 2 1| + 0·|0 1; 2 0|。
= 1·(1·1 − 3·0) − 2·(0·1 − 3·2) + 0 = 1·1 − 2·(−6) = 1 + 12 = 13。
行列式 = 13
三向量 a = (2, 0, 0)、b = (1, 3, 0)、c = (1, 1, 4) 張出一個平行六面體。求其體積。
體積 = |三向量作成的行列式|(= |a·(b×c)|)。
| 2 0 0 ; 1 3 0 ; 1 1 4 |,沿第一列展開:= 2·|3 0; 1 4| − 0 + 0。
= 2·(3·4 − 0·1) = 2·12 = 24。
體積 = 24
以原點 O 及 a = (2, 1, 0)、b = (0, 3, 0)、c = (1, 1, 2) 為四頂點的四面體,求體積。
四面體體積 = (1/6)·|平行六面體行列式|。
| 2 1 0 ; 0 3 0 ; 1 1 2 |,沿第一列展開:= 2·|3 0; 1 2| − 1·|0 0; 1 2| + 0。
= 2·(6 − 0) − 1·(0 − 0) = 12。
體積 = 12 / 6 = 2。
四面體體積 = 2