17 題,對應單元的四大主題:向量運算與分量、內積與夾角、投影、分點與中點重心。先自己算,再點開解答對答案——向量方向(終點減起點)、內積符號與投影分母最容易錯,務必逐步驗算。
設 a = (2, 3)、b = (−1, 4)。求下列各向量:
a + b、a − b、2a、3a − 2b
向量運算就是「對應分量各自運算」。
a + b = (2 + (−1), 3 + 4) = (1, 7)。
a − b = (2 − (−1), 3 − 4) = (3, −1)。
2a = (2·2, 2·3) = (4, 6)。
3a = (6, 9)、2b = (−2, 8) → 3a − 2b = (6 − (−2), 9 − 8) = (8, 1)。
(1, 7)、(3, −1)、(4, 6)、(8, 1)
已知 A(1, 2)、B(5, −3)。求向量 AB、BA,以及 A、B 兩點的距離。
關鍵:AB = 終點 − 起點 = B − A(方向千萬別反)。
AB = (5 − 1, −3 − 2) = (4, −5)。
BA = A − B = (1 − 5, 2 − (−3)) = (−4, 5),恰為 AB 的相反向量。
距離 = |AB| = √(4² + (−5)²) = √(16 + 25) = √41 ≈ 6.40。
AB = (4, −5)、BA = (−4, 5)、距離 = √41
求下列向量的長度 |v| = √(x² + y²):
v = (3, 4)、w = (−5, 12)、u = (1, −2)
|v| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。
|w| = √((−5)² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13。
|u| = √(1² + (−2)²) = √(1 + 4) = √5 ≈ 2.24。
5、13、√5
提醒:分量帶負號,平方後都變正;根號除不盡就標「≈」。
設 a = (6, 8)。求與 a 同方向的單位向量,並求與 a 同方向、長度為 15 的向量。
先算長度:|a| = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10。
單位向量 = a / |a| = (6/10, 8/10) = (3/5, 4/5)。
長度 15 的向量 = 15 × 單位向量 = 15·(3/5, 4/5) = (9, 12)。
單位向量 (3/5, 4/5);長度 15 者 (9, 12)
驗算:|(9, 12)| = √(81 + 144) = √225 = 15 ✓。
設 a = (2, 3)、b = (k, 9)。若 a 與 b 平行,求 k。
兩向量平行 ⟺ 分量成比例,即 x₁y₂ − x₂y₁ = 0(交叉相乘相等)。
2·9 − k·3 = 0 → 18 − 3k = 0 → k = 6。
k = 6
驗算:b = (6, 9) = 3·(2, 3) = 3a,確實同方向平行 ✓。
用 a · b = x₁x₂ + y₁y₂ 計算內積:
(1) a = (3, 4)、b = (2, −1) (2) c = (−2, 5)、d = (4, 3)
(1) a · b = 3·2 + 4·(−1) = 6 − 4 = 2。
(2) c · d = (−2)·4 + 5·3 = −8 + 15 = 7。
a · b = 2;c · d = 7
內積是「分量乘積再相加」,結果是一個數(純量),不是向量。
下列三組向量,哪幾組互相垂直?(垂直 ⟺ 內積 = 0)
(1) (1, 2) 與 (4, −2) (2) (3, 1) 與 (1, 3) (3) (2, −3) 與 (3, 2)
(1) (1)(4) + (2)(−2) = 4 − 4 = 0 → 垂直。
(2) (3)(1) + (1)(3) = 3 + 3 = 6 ≠ 0 → 不垂直。
(3) (2)(3) + (−3)(2) = 6 − 6 = 0 → 垂直。
第 (1) 組與第 (3) 組互相垂直
求 a = (1, √3) 與 b = (√3, 1) 的夾角 θ。
用 cos θ = (a · b) / (|a| |b|)。
a · b = 1·√3 + √3·1 = 2√3。
|a| = √(1 + 3) = 2、|b| = √(3 + 1) = 2。
cos θ = 2√3 / (2·2) = 2√3 / 4 = √3 / 2。
θ = 30°
檢查:cos θ = √3/2 ≈ 0.87,落在 [−1, 1] 內,合理。
設 a = (2, −3)、b = (k, 4)。若 a ⊥ b,求 k。
垂直 ⟺ 內積 = 0,直接令 a · b = 0。
2·k + (−3)·4 = 0 → 2k − 12 = 0 → k = 6。
k = 6
驗算:a · b = 2·6 + (−3)·4 = 12 − 12 = 0 ✓,確實垂直。
求 a = (3, −1) 與 b = (−2, 4) 的夾角 θ。
a · b = 3·(−2) + (−1)·4 = −6 − 4 = −10(為負,預告是鈍角)。
|a| = √(9 + 1) = √10、|b| = √(4 + 16) = √20 = 2√5。
|a| |b| = √10 · 2√5 = 2√50 = 2·5√2 = 10√2。
cos θ = −10 / (10√2) = −1/√2 = −√2 / 2。
θ = 135°
內積為負 → cos θ = −√2/2 ∈ [−1, 1] → 鈍角 135°,與符號一致 ✓。
求 b = (2, 1) 在 a = (3, 4) 上的投影長(= (a·b)/|a|)。
投影長公式的分母是 |a|(不是 |a|²,別記錯)。
a · b = 3·2 + 4·1 = 6 + 4 = 10。
|a| = √(3² + 4²) = √25 = 5。
投影長 = (a · b) / |a| = 10 / 5 = 2。
投影長 = 2
求 b = (4, 2) 在 a = (1, 2) 上的投影長。
a · b = 1·4 + 2·2 = 4 + 4 = 8。
|a| = √(1² + 2²) = √5。
投影長 = 8 / √5,分母有理化 = 8√5 / 5 ≈ 3.58。
8√5 / 5(≈ 3.58)
投影長為正,代表 b 在 a 方向上的影子與 a 同向(因 a·b > 0)。
求 b = (3, 4) 在 a = (2, 1) 上的投影向量,並求其長度。
投影向量 = ((a·b)/|a|²)·a(注意投影「向量」的分母是 |a|²)。
a · b = 2·3 + 1·4 = 6 + 4 = 10;|a|² = 2² + 1² = 5。
投影向量 = (10 / 5)·(2, 1) = 2·(2, 1) = (4, 2)。
長度 = |(4, 2)| = √(16 + 4) = √20 = 2√5 ≈ 4.47。
投影向量 (4, 2),長度 2√5
對照:投影長 = (a·b)/|a| = 10/√5 = 2√5,與投影向量長度一致 ✓。
求 A(2, 5) 與 B(−4, 3) 的中點座標。
中點是分點公式取 t = ½,即兩端點座標各自取平均。
中點 = ((2 + (−4))/2, (5 + 3)/2) = (−2/2, 8/2) = (−1, 4)。
中點 (−1, 4)
設 A(−1, 2)、B(5, 8)。求 P = (1−t)A + tB 在 t = 1/3 時的座標,並說明分點比 AP : PB。
P = (1 − ⅓)A + ⅓B = ⅔·A + ⅓·B。
x:⅔·(−1) + ⅓·5 = −2/3 + 5/3 = 3/3 = 1。
y:⅔·2 + ⅓·8 = 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4。
分點比 AP : PB = t : (1 − t) = ⅓ : ⅔ = 1 : 2。
P = (1, 4),AP : PB = 1 : 2
驗算:A→P = (2, 2)、P→B = (4, 4),比為 1 : 2 ✓。
三角形頂點 A(1, 2)、B(5, 4)、C(3, 9)。求重心 G。
重心 = 三頂點座標的平均。
G = ((1 + 5 + 3)/3, (2 + 4 + 9)/3) = (9/3, 15/3) = (3, 5)。
重心 G = (3, 5)
三角形 ABC 的重心為 G(2, 3),已知 A(1, 1)、B(4, 5)。求第三頂點 C。
由重心公式 G = (A + B + C)/3,反解 C = 3G − A − B。
3G = (6, 9)。
C = (6, 9) − (1, 1) − (4, 5) = (6 − 1 − 4, 9 − 1 − 5) = (1, 3)。
C = (1, 3)
驗算:重心 = ((1 + 4 + 1)/3, (1 + 5 + 3)/3) = (6/3, 9/3) = (2, 3) ✓。