直線與圓

1點到直線的距離

d = |a·x₀ + b·y₀ + c|√(a² + b²)

一個點到一條直線的距離,是指垂直距離(最短的那條)。從點畫一條與直線垂直的線段,它的長度就是距離。這個公式是圓、切線、面積等好多題目的關鍵工具。

2圓方程式

(x − h)² + (y − k)² = r²

圓的定義是「到圓心距離都等於 r 的點」。所以圓方程式其實就是距離公式:任何點 (x, y) 到圓心 (h, k) 的距離恰好是 r。三個數字 h、k、r 完全決定一個圓。

3直線與圓的關係

比較「圓心到直線的距離 d」與「半徑 r」

直線和圓有三種關係,判斷方法只有一句話:算圓心到直線的距離 d,再和半徑 r 比大小。d < r 穿過(交兩點)、d = r 相切(碰一點)、d > r 分離(不相交)。完全不必解聯立!

✓本單元重點回顧

• 點到直線距離 d = |ax₀+by₀+c| / √(a²+b²);最短距離必垂直於直線。
• 圓 (x−h)²+(y−k)²=r²:圓心 (h,k)、半徑 r,本質是距離公式。
• 一般式 x²+y²+Dx+Ey+F=0 用配方法求圓心半徑。
• 直線與圓:比 d 與 r —— d<r 相交、d=r 相切、d>r 相離。