數學A 第三冊 · 單元 08

三角

三角函數的本質,是單位圓上一個點的座標。角度轉一圈,點的 x 座標畫出餘弦、y 座標畫出正弦——所有公式都能回到這張圖來理解。

1單位圓:sin 與 cos 的真身

半徑 1 的圓上,角 θ 對應的點 = (cos θ, sin θ)

在單位圓上,從正 x 軸逆時針轉 θ,落點的橫座標就是 cos θ、縱座標就是 sin θ。所以 sin²θ + cos²θ = 1(畢氏定理),tan θ = sin θ / cos θ 就是那條半徑的斜率。

轉動角度 θ: 紅點是圓上的點,它的高度 = sin θ、水平位置 = cos θ。第二象限 cos 變負、sin 仍正——正負號一看就懂。

y = A sin( B(x − C) ) + D

當點繞圓轉,把它的高度(sin)隨角度展開,就得到波浪狀的正弦曲線。四個參數各管一件事:A 振幅(多高)、B 週期(多密)、C 相位(左右移)、D 上下移。

四個滑桿: A 拉高矮、B 壓寬窄、C 平移、D 抬升。虛線是基準線 y = D,波在它上下 A 的範圍內擺盪。

c² = a² + b² − 2ab·cos C

已知兩邊 a、b 和夾角 C,就能求出第三邊 c。妙的是:當 C = 90°,cos C = 0,公式立刻變回 c² = a² + b²(畢氏定理)!餘弦定理就是畢氏定理的「任意角版本」。

拉夾角 C: 夾角張開,對邊 c 就變長。角越大、c 越大——那個 −2ab·cos C 修正項,正是在補畢氏定理沒算到的「角度不是直角」的部分。

正弦定理另一把利器:a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R(外接圓直徑)。已知「角與對邊」的搭配時用正弦定理;已知「兩邊夾一角」時用餘弦定理。