18 題,涵蓋單元四大主題:直線方程式與斜率、點到直線的距離、圓方程式、直線與圓的關係。先自己算,再點開解答對答案——不會的題把觀念補回教學頁。
求通過 A(1, 2)、B(4, 8) 兩點的直線斜率。
斜率 = 縱差 ÷ 橫差 = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)。
m = (8 − 2) / (4 − 1) = 6/3 = 2。
m = 2
求通過點 (2, −1) 且斜率為 3 的直線方程式(寫成 y = mx + b)。
點斜式:y − y₀ = m(x − x₀)。
y − (−1) = 3(x − 2) → y + 1 = 3x − 6 → y = 3x − 7。
y = 3x − 7
求通過點 (1, 4) 且與直線 2x − y + 5 = 0 平行的直線方程式。
先看原直線斜率:2x − y + 5 = 0 → y = 2x + 5,斜率 = 2。
平行 → 斜率相同 = 2。過 (1, 4):y − 4 = 2(x − 1) → y − 4 = 2x − 2 → y = 2x + 2。
y = 2x + 2(即 2x − y + 2 = 0)
求通過點 (3, 2) 且與直線 y = (1/2)x + 1 垂直的直線方程式。
原直線斜率 = 1/2。垂直 → 兩斜率乘積 = −1,故新斜率 = −2(因為 (1/2) × (−2) = −1)。
過 (3, 2):y − 2 = −2(x − 3) → y − 2 = −2x + 6 → y = −2x + 8。
y = −2x + 8
求兩直線 x + y = 5 與 2x − y = 1 的交點座標。
交點同時滿足兩式,解聯立。兩式相加消去 y:(x + y) + (2x − y) = 5 + 1 → 3x = 6 → x = 2。
代回 x + y = 5 → y = 3。驗算:2(2) − 3 = 1 ✓。
交點 (2, 3)
求線段 A(−1, 2)、B(3, −4) 的垂直平分線方程式。
垂直平分線 = 通過 AB 中點、且與 AB 垂直的直線。
中點 M = ((−1 + 3)/2, (2 + (−4))/2) = (1, −1)。
AB 斜率 = (−4 − 2) / (3 − (−1)) = −6/4 = −3/2 → 垂直斜率 = 2/3。
過 M(1, −1) 斜率 2/3:y + 1 = (2/3)(x − 1),兩邊乘 3 → 3y + 3 = 2x − 2 → 2x − 3y − 5 = 0。
2x − 3y − 5 = 0(即 y = (2/3)x − 5/3)
求點 (2, 3) 到直線 3x + 4y − 5 = 0 的距離。
距離公式 d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²),此處 a = 3、b = 4、c = −5。
d = |3·2 + 4·3 − 5| / √(3² + 4²) = |6 + 12 − 5| / √25 = 13/5。
d = 13/5(= 2.6)
求原點 (0, 0) 到直線 x + y − 4 = 0 的距離。
d = |1·0 + 1·0 − 4| / √(1² + 1²) = 4 / √2。
分母有理化:4/√2 = 4√2/2 = 2√2。
d = 2√2(≈ 2.83)
求兩平行線 3x + 4y = 10 與 3x + 4y = 20 之間的距離。
兩線 x、y 係數相同,故平行。作法:在一線上任取一點,再算它到另一線的距離。
在第一線取點:令 x = 2,則 6 + 4y = 10 → y = 1,得點 (2, 1)。
(2, 1) 到 3x + 4y − 20 = 0 的距離 = |3·2 + 4·1 − 20| / √(3² + 4²) = |−10| / 5 = 2。
距離 = 2
已知點 (1, k) 到直線 4x − 3y + 1 = 0 的距離為 2,求 k。
d = |4·1 − 3·k + 1| / √(4² + 3²) = |5 − 3k| / 5 = 2 → |5 − 3k| = 10。
絕對值展開成兩種情形:5 − 3k = 10 → k = −5/3;或 5 − 3k = −10 → k = 5。
k = 5 或 k = −5/3
易錯:距離帶絕對值,務必取 ± 兩解,不能只留一個。
求圓 (x − 2)² + (y + 3)² = 16 的圓心與半徑。
標準式 (x − h)² + (y − k)² = r²,對照:h = 2、k = −3(注意 y + 3 = y − (−3))、r² = 16。
圓心 (2, −3),半徑 4
求以 (−1, 2) 為圓心、半徑 3 的圓方程式。
代入標準式,h = −1、k = 2、r = 3:
(x − (−1))² + (y − 2)² = 3² → (x + 1)² + (y − 2)² = 9。
(x + 1)² + (y − 2)² = 9
將 x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0 化為標準式,求圓心與半徑。
把 x、y 分別湊完全平方(常數先移到右邊):x² − 6x + y² + 4y = 3。
x² − 6x → 加 9;y² + 4y → 加 4。兩邊同加:(x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 3 + 9 + 4。
(x − 3)² + (y + 2)² = 16。
圓心 (3, −2),半徑 4
已知線段 A(1, 2)、B(5, 8) 為某圓的直徑,求該圓方程式。
直徑兩端點的中點就是圓心:M = ((1 + 5)/2, (2 + 8)/2) = (3, 5)。
半徑 = 圓心到端點的距離:r² = (3 − 1)² + (5 − 2)² = 4 + 9 = 13。
(x − 3)² + (y − 5)² = 13。
(x − 3)² + (y − 5)² = 13
判斷直線 3x + 4y − 25 = 0 與圓 x² + y² = 9 的位置關係。
圓心 (0, 0),半徑 r = 3。算圓心到直線的距離 d,再和 r 比大小。
d = |3·0 + 4·0 − 25| / √(3² + 4²) = 25/5 = 5。
d = 5 > r = 3。
d > r,兩者相離(無交點)
求圓 x² + y² = 25 被直線 3x + 4y − 10 = 0 所截的弦長。
圓心 (0, 0),r = 5。圓心到直線距離 d = |−10| / √(3² + 4²) = 10/5 = 2。
半弦、d、r 構成直角三角形,故弦長 = 2√(r² − d²) = 2√(25 − 4) = 2√21。
弦長 = 2√21(≈ 9.17)
判斷直線 x + y = 4 與圓 (x − 1)² + (y − 1)² = 2 是否相切;若是,求切點。
圓心 (1, 1),r = √2。直線寫成 x + y − 4 = 0,d = |1 + 1 − 4| / √(1² + 1²) = 2/√2 = √2。
d = √2 = r → 相切。切點 = 由圓心對直線作垂線的垂足。
垂線方向為法向量 (1, 1);由 (1, 1) 沿此方向移到直線上得 (2, 2)。驗算:2 + 2 = 4 在線上 ✓,(2 − 1)² + (2 − 1)² = 2 在圓上 ✓。
相切,切點 (2, 2)
求圓 x² + y² = 25 在其上一點 (3, 4) 的切線方程式。
先確認 (3, 4) 在圓上:3² + 4² = 25 ✓。關鍵:切線垂直於過切點的半徑。
半徑 O(0, 0)→(3, 4) 斜率 = 4/3 → 切線斜率 = −3/4(乘積為 −1)。
過 (3, 4):y − 4 = −(3/4)(x − 3) → 4y − 16 = −3x + 9 → 3x + 4y = 25。
驗算:圓心到 3x + 4y − 25 = 0 的距離 = 25/5 = 5 = r,確為切線 ✓。
3x + 4y = 25(即 3x + 4y − 25 = 0)