18 題,涵蓋單元四大主題:單位圓與特殊角、三角函數圖形、正弦與餘弦定理、和差角與倍角。先自己算,再點開解答對答案——特殊角的值與象限正負號要背熟、算穩。
不用計算機,求下列各值:
sin30°、cos60°、tan45°、cos30°、sin60°、tan60°
30°-60°-90° 與 45°-45°-90° 兩個基本三角形的邊比:sin30° = cos60° = 1/2;cos30° = sin60° = √3/2。
tan45° = sin45°/cos45° = 1;tan60° = sin60°/cos60° = (√3/2)/(1/2) = √3。
1/2、1/2、1、√3/2、√3/2、√3
已知 180° = π 弧度。
(1) 把 45° 化成弧度;(2) 把 120° 化成弧度;(3) 把 5π/6 化成角度。
角度乘 π/180 得弧度,弧度乘 180/π 得角度。
(1) 45° × π/180 = π/4。
(2) 120° × π/180 = 2π/3。
(3) 5π/6 × 180/π = 5 × 30° = 150°。
π/4、2π/3、150°
已知 θ 為銳角,且 cosθ = 5/13,求 sinθ 與 tanθ。
由 sin²θ + cos²θ = 1:sin²θ = 1 − (5/13)² = 1 − 25/169 = 144/169。
θ 為銳角(第一象限),sinθ 取正 → sinθ = 12/13。
tanθ = sinθ / cosθ = (12/13) / (5/13) = 12/5。
sinθ = 12/13,tanθ = 12/5
已知 sinθ = 4/5,且 θ 在第二象限,求 cosθ 與 tanθ。
cos²θ = 1 − sin²θ = 1 − 16/25 = 9/25 → cosθ = ±3/5。
第二象限的點在左上方,x 座標為負,故 cosθ 取負 → cosθ = −3/5。
tanθ = sinθ / cosθ = (4/5) / (−3/5) = −4/3。
cosθ = −3/5,tanθ = −4/3
提醒:先由象限決定正負號,再開根號,不要漏了負號。
(1) 若 cosθ < 0 且 tanθ < 0,θ 落在第幾象限?
(2) 求 sin120°、cos225°、tan300° 的值。
(1) cosθ < 0 → 第二或第三象限;tanθ < 0 → 第二或第四象限。取交集 → 第二象限。
(2) 120° = 180° − 60°,在第二象限(sin 正):sin120° = sin60° = √3/2。
225° = 180° + 45°,在第三象限(cos 負):cos225° = −cos45° = −√2/2。
300° = 360° − 60°,在第四象限(tan 負):tan300° = −tan60° = −√3。
(1) 第二象限 (2) √3/2、−√2/2、−√3
函數 y = 3 sin(2x) + 1。求 (1)振幅 (2)週期 (3)最大值 (4)最小值。
對照 y = A sin(Bx) + D:A = 3、B = 2、D = 1。
振幅 = |A| = 3;週期 = 2π / B = 2π / 2 = π。
sin 介於 −1 與 1,故最大值 = A + D = 3 + 1 = 4;最小值 = −A + D = −3 + 1 = −2。
振幅 3、週期 π、最大值 4、最小值 −2
函數 y = 2 sin(3(x − π/6)) − 4。寫出振幅 A、週期、相位 C、垂直平移 D,並求值域。
對照 y = A sin(B(x − C)) + D:A = 2、B = 3、C = π/6、D = −4。
週期 = 2π / B = 2π / 3。
波在基準線 y = D 上下擺盪 A:最大 = −4 + 2 = −2,最小 = −4 − 2 = −6。
A = 2、週期 2π/3、C = π/6、D = −4;值域 [−6, −2]
某函數形如 y = A sin(Bx) + D(A > 0, B > 0),最大值為 5、最小值為 −1、週期為 π。求 A、D、B。
振幅 = (最大 − 最小) / 2 = (5 − (−1)) / 2 = 3 → A = 3。
基準線 D = (最大 + 最小) / 2 = (5 + (−1)) / 2 = 2 → D = 2。
由週期 = 2π / B = π → B = 2。
A = 3、D = 2、B = 2
函數 y = 5 sin(4x + π) + 2。
(1) 改寫成 y = A sin(B(x − C)) + D 的形式;(2) 求振幅、週期、最大值。
先把 x 的係數提出來:4x + π = 4(x + π/4) = 4(x − (−π/4))。
故 y = 5 sin(4(x − (−π/4))) + 2,即 A = 5、B = 4、C = −π/4、D = 2。
週期 = 2π / B = 2π / 4 = π/2(用的是 x 的係數 4,不是 π);最大值 = A + D = 5 + 2 = 7。
y = 5 sin(4(x + π/4)) + 2;振幅 5、週期 π/2、最大值 7
三角形 ABC 中,a = 5、b = 8,夾角 C = 60°,求對邊 c。
餘弦定理:c² = a² + b² − 2ab·cos C。
c² = 5² + 8² − 2·5·8·cos60° = 25 + 64 − 80·(1/2) = 89 − 40 = 49。
c = √49 = 7。
c = 7
三角形兩邊長為 6 與 10,其夾角為 30°,求三角形面積。
面積 = ½ · (兩邊乘積) · sin(夾角) = ½ · 6 · 10 · sin30°。
= 30 · (1/2) = 15。
面積 = 15
三角形 ABC 中,A = 30°、a = 4。
(1) 求外接圓半徑 R;(2) 若 B = 45°,求邊 b。
正弦定理:a / sin A = 2R。
(1) 2R = a / sin A = 4 / sin30° = 4 / (1/2) = 8 → R = 4。
(2) b = 2R · sin B = 8 · sin45° = 8 · (√2/2) = 4√2。
R = 4,b = 4√2
三角形三邊 a = 3、b = 5、c = 7,求最大角。
最大角對最大邊,最大邊為 c = 7,所求為角 C。
由餘弦定理 c² = a² + b² − 2ab·cos C,移項:cos C = (a² + b² − c²) / (2ab)。
cos C = (9 + 25 − 49) / (2·3·5) = −15 / 30 = −1/2。
cos 為負 → C 是鈍角。cos C = −1/2 → C = 120°。
最大角 C = 120°
易錯:cos 出現負值代表該角超過 90°,別誤取成 60°。
三角形 ABC 中,A = 60°、B = 75°、a = 6。求角 C 與邊 c。
內角和 180°:C = 180° − 60° − 75° = 45°。
正弦定理:a / sin A = c / sin C → c = a · sin C / sin A。
c = 6 · sin45° / sin60° = 6 · (√2/2) / (√3/2) = 6 · √2/√3。
分母有理化:√2/√3 = √6/3,故 c = 6 · √6/3 = 2√6。
C = 45°,c = 2√6
2√6 ≈ 4.90,合理(對 45° 的邊比對 60° 的 a = 6 短)。
利用 75° = 45° + 30° 與 sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB,求 sin75°。
sin75° = sin(45° + 30°) = sin45° cos30° + cos45° sin30°。
= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = √6/4 + √2/4。
sin75° = (√6 + √2) / 4
數值約 0.966,介於 0 與 1 之間,合理。
利用 15° = 45° − 30° 與 cos(A−B) = cosA cosB + sinA sinB,求 cos15°。
cos15° = cos(45° − 30°) = cos45° cos30° + sin45° sin30°。
= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = √6/4 + √2/4。
cos15° = (√6 + √2) / 4
注意差角公式中間是「＋」號:cos(A−B) 展開為 cosA cosB 加上 sinA sinB。
已知 θ 為銳角,cosθ = 4/5,求 sin2θ 與 cos2θ。
θ 為銳角 → sinθ = √(1 − 16/25) = 3/5(取正)。
sin2θ = 2 sinθ cosθ = 2 · (3/5) · (4/5) = 24/25。
cos2θ = 2cos²θ − 1 = 2 · (16/25) − 1 = 32/25 − 25/25 = 7/25。
sin2θ = 24/25,cos2θ = 7/25
已知 θ 為第二象限角,sinθ = 5/13,求 sin2θ 與 cos2θ。
先求 cosθ:cos²θ = 1 − 25/169 = 144/169 → cosθ = ±12/13。
θ 在第二象限,cosθ 取負 → cosθ = −12/13。
sin2θ = 2 sinθ cosθ = 2 · (5/13) · (−12/13) = −120/169。
cos2θ = 1 − 2sin²θ = 1 − 2·(25/169) = 1 − 50/169 = 119/169。
sin2θ = −120/169,cos2θ = 119/169
檢驗:θ 在 90°～180° 之間,2θ 在 180°～360° 之間,sin2θ 為負相符。