第二冊 · 單元 06

機率

機率 = 有利的情況 ÷ 所有情況。關鍵是先把「所有情況」(樣本空間)完整攤開來——攤開後,機率就只是數格子、算比例。

1樣本空間:先把所有可能攤平

兩顆骰子,36 種結果一次看光

丟兩顆骰子,所有結果排成 6×6 = 36 格。想算「點數和 = 7」的機率?就數有幾格符合,再除以 36。機率題的第一步,永遠是把樣本空間畫出來。

拉點數和: 綠色格子是符合的結果。你會發現「和 = 7」最多(6 格,對角線),「和 = 2 或 12」最少(各 1 格)——這就是為什麼玩大富翁常擲出 7。

P(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

「已知 B 發生,A 的機率」——意思是把整個世界縮小成只剩 B,再問 A 佔多少。分母從「全部」換成「B」,這就是條件機率的全部祕密。

看范氏圖: A 與 B 兩圈重疊處是 A ∩ B。求 P(A|B) 時,別再看整張圖 —— 只看 B 這一圈,問「其中 A∩B 佔多大比例」。

獨立事件若 P(A|B) = P(A)(知不知道 B 都一樣),稱 A、B 獨立,此時 P(A∩B) = P(A)·P(B)。丟兩次硬幣、抽獎放回,都是獨立。

分階段的事件,沿路徑把機率乘起來

袋中 3 紅 2 藍,不放回連抽兩顆。第二次的機率會受第一次影響(相依)。畫成樹:沿著一條路徑把機率相乘,就是那條路徑的機率;要哪幾種情況,就把對應路徑相加。

看樹枝: 例如「兩顆都紅」= 沿紅→紅這條路 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10。注意第二層分母變成 4(少了一顆),分子也隨第一次結果改變。

E(X) = Σ xᵢ · pᵢ （機率當作「重量」的平衡點）

期望值是長期平均會拿到多少。把每個結果的機率想成放在數線上的重量,期望值就是這些重量的平衡點(重心)。公平骰子平衡在 3.5;把骰子灌鉛偏向大點,平衡點就往右移。

拉偏心程度: 長條是各點數的機率(重量),▲ 三角形是平衡點 = 期望值。偏向越大,平衡點離 3.5 越遠。