18 題,涵蓋五大主題:樣本空間與古典機率、條件機率、獨立事件、機率樹狀圖、期望值。先自己算,再點開解答對答案——記得把分數化到最簡,不會的題把觀念補回教學頁。
把一枚公正硬幣連丟兩次。請列出樣本空間,並求恰好出現一次正面的機率。
把兩次結果照順序寫出,樣本空間 S = {正正, 正反, 反正, 反反},共 4 種,機率均等。
恰好一次正面的有利結果:{正反, 反正},共 2 種。
P(恰一正) = 2/4 = 1/2
提醒:正反與反正是兩種不同的結果,別當成同一種而漏算。
擲一顆公正骰子,求下列各事件的機率:
(a) 點數是偶數 (b) 點數大於 4
樣本空間 S = {1,2,3,4,5,6},總數 6。
(a) 偶數 = {2,4,6},3 種 → P(A) = 3/6 = 1/2。
(b) 大於 4 = {5,6},2 種 → P(B) = 2/6 = 1/3。
(a) 1/2 (b) 1/3
袋中有 5 顆紅球、3 顆白球、2 顆黑球,共 10 顆,隨機取一顆。求:
(a) 取到紅球 (b) 取到的不是黑球
總數 10 顆,每顆機會均等。
(a) 紅球 5 顆 → P(紅) = 5/10 = 1/2。
(b) 用餘事件:黑球 2 顆,P(黑) = 2/10 = 1/5,故 P(不是黑) = 1 − P(黑) = 1 − 1/5 = 4/5。
(a) 1/2 (b) 4/5
「不是⋯」「至少⋯」優先想餘事件 1 − P(A),比正面逐一數更快。
擲兩顆公正骰子(分辨先後),求:
(a) 點數和等於 8 (b) 用餘事件求「點數和大於 3」
樣本空間為 6×6 = 36 種有序結果。
(a) 和 = 8 的有利結果:(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2),共 5 種 → P(和=8) = 5/36。
(b) 直接數較煩,改算餘事件「和 ≤ 3」:和=2 只有 (1,1);和=3 有 (1,2)(2,1)。共 3 種。
P(和>3) = 1 − P(和≤3) = 1 − 3/36 = 33/36 = 11/12。
(a) 5/36 (b) 11/12
易錯:兩顆骰子要看成「有先後」的 36 格,不能把 (2,6) 與 (6,2) 併成一種。
擲一顆公正骰子。已知出現的是偶數,求「該點數大於 3」的機率。
「已知偶數」把世界縮小成 B = {2,4,6},新的分母是 3(不再是 6)。
在 B 之中,點數大於 3 的有 {4,6},共 2 種。
P(>3 | 偶數) = 2/3 = 2/3
核心:條件機率的分母要換成「已知事件」的個數,而不是原本的全部。
某社團調查:一名學生「參加社團」(事件 B)的機率為 0.5,而「參加社團且擔任幹部」(事件 A∩B)的機率為 0.2。已知某人有參加社團,求他擔任幹部的機率 P(A|B)。
直接套公式 P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
= 0.2 / 0.5 = 0.4。
P(A|B) = 2/5
分子是「兩件事都發生」的機率,分母是「已知的那件事」的機率,別把兩者放反。
某班 35 人,依性別與是否戴眼鏡調查如下表。隨機抽一人:
| 戴眼鏡 | 沒戴 | 合計 | |
|---|---|---|---|
| 男生 | 14 | 6 | 20 |
| 女生 | 6 | 9 | 15 |
| 合計 | 20 | 15 | 35 |
(a) 求抽到「戴眼鏡」的機率 (b) 已知抽到的是女生,求她戴眼鏡的機率。
(a) 全班 35 人,戴眼鏡共 14 + 6 = 20 人 → P(戴) = 20/35 = 4/7。
(b) 已知是女生,分母縮成女生 15 人;其中戴眼鏡 6 人 → P(戴|女) = 6/15 = 2/5。
(a) 4/7 (b) 2/5
易錯:第 (b) 小題分母是「女生 15」不是「全班 35」——條件機率永遠把世界縮到已知的那一列。
連丟一枚公正硬幣兩次,兩次結果互不影響。求兩次都是正面的機率。
兩次獨立,故 P(A∩B) = P(A)·P(B)。
= 1/2 × 1/2 = 1/4。
1/4
驗證:樣本空間 {正正,正反,反正,反反} 共 4 種,「正正」佔 1 種 = 1/4,結果一致。
擲一顆公正骰子。設 A = 點數為偶數、B = 點數不大於 4。請判斷 A、B 是否獨立。
列出:A = {2,4,6},P(A) = 3/6 = 1/2;B = {1,2,3,4},P(B) = 4/6 = 2/3。
A∩B = {2,4},P(A∩B) = 2/6 = 1/3。
檢查 P(A)·P(B) = 1/2 × 2/3 = 1/3,恰好等於 P(A∩B)。
兩者相等 → A、B 獨立
獨立與否要靠計算驗證 P(A∩B) = P(A)P(B),不能只憑「感覺無關」就下結論。
某射手每次命中的機率為 0.8,各次射擊互相獨立。連射 3 次,求:
(a) 三次全部命中 (b) 至少命中一次
(a) 三次獨立,機率相乘:0.8³ = 0.512。
(b)「至少一次」用餘事件最快:反面是「三次全沒中」,每次沒中 0.2。
P(全沒中) = 0.2³ = 0.008 → P(至少一次) = 1 − 0.008 = 0.992。
(a) 0.512 (b) 0.992
易錯:「至少一次命中」不是 3×0.8;要走餘事件 1 − (全部沒中)。
袋中有 3 顆紅球、2 顆白球。每次抽一顆看完放回,連抽兩次。求兩次都是紅球的機率。
放回 → 每次袋子狀態相同,兩次獨立,第二次紅球機率仍是 3/5。
沿「紅 → 紅」這條路徑相乘:3/5 × 3/5 = 9/25。
9/25
同上,袋中 3 紅 2 白,但這次不放回連抽兩顆。求兩次都是紅球的機率。
第一次紅:3/5。抽走一顆紅後,袋裡剩 2 紅 2 白共 4 顆。
第二次紅:2/4。沿路徑相乘:3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10。
3/10
易錯:不放回時第二層的分母要變 4、分子也變 2(少了一顆紅);不可沿用 3/5。
袋中 3 紅 2 白,不放回抽兩顆。求抽到的兩顆恰好一紅一白的機率。
一紅一白有兩條路徑,分別算再相加:
紅 → 白:3/5 × 2/4 = 6/20;白 → 紅:2/5 × 3/4 = 6/20。
跨路徑相加:6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5。
3/5
別漏掉「白先紅後」這條路徑;沿路徑相乘、跨路徑相加是樹狀圖的兩大動作。
有甲、乙兩袋:甲袋 2 紅 3 白,乙袋 4 紅 1 白。先等機率隨機挑一袋,再從中抽一球。已知抽到的是紅球,求它來自甲袋的機率。
先畫兩層樹。選袋各 1/2;甲袋抽紅 2/5,乙袋抽紅 4/5。
路徑機率:甲且紅 = 1/2 × 2/5 = 1/5;乙且紅 = 1/2 × 4/5 = 2/5。
紅球總機率(兩條紅路徑相加):P(紅) = 1/5 + 2/5 = 3/5。
反推來源:P(甲|紅) = P(甲∩紅) / P(紅) = (1/5) / (3/5) = 1/3。
1/3
「已知結果、反推來源」= 條件機率:分母是結果(紅球)的總機率,分子是目標那條路徑的機率。
擲一顆公正骰子,設 X 為出現的點數。求點數的期望值 E(X)。
每個點數 1~6 的機率都是 1/6,套 E(X) = Σ xᵢ·pᵢ。
= (1+2+3+4+5+6) × 1/6 = 21/6 = 3.5。
E(X) = 3.5
3.5 不是任何一次擲得出的點數,它是「長期平均」——期望值本來就不必是實際會出現的值。
某抽獎共發行 500 張券:頭獎 1 張得 10000 元、貳獎 4 張各得 1000 元、參獎 10 張各得 100 元,其餘皆無獎。求:
(a) 每張券的期望獎金 (b) 若一張券售價 40 元,判斷購買是否有利
各獎機率:頭獎 1/500、貳獎 4/500、參獎 10/500、無獎 485/500(相加 = 500/500 = 1 ✓)。
(a) E = 10000·(1/500) + 1000·(4/500) + 100·(10/500) + 0。
= (10000 + 4000 + 1000) / 500 = 15000/500 = 30 元。
(b) 期望獎金 30 元 < 售價 40 元,平均每張淨損 10 元。
(a) 30 元 (b) 不利(期望淨損 10 元)
一個遊戲:擲一顆公正骰子,點數是 6 可得 60 元;點數是 1 或 2 要付出 30 元;其餘(3、4、5)不賺不賠。求這場遊戲的期望值,並判斷是否公平。
各情況機率:得 60 元 → P = 1/6;付 30 元(記 −30)→ P = 2/6;0 元 → P = 3/6(相加 = 1 ✓)。
E = 60·(1/6) + (−30)·(2/6) + 0·(3/6)。
= 10 + (−10) + 0 = 0 元。
E = 0 元 → 公平的賭局
判斷公平的標準是期望值是否為 0;E > 0 對玩家有利、E < 0 對玩家不利。
保險公司賣一年期保單,保費 1200 元。若投保人一年內發生事故(機率 0.5%,即 0.005),公司需理賠 200000 元;未發生則不需理賠。求保險公司對每張保單的期望利潤。
以公司利潤為 X。收保費 1200 是固定的,理賠是期望支出。
期望理賠 = 0.005 × 200000 = 1000 元。
E(利潤) = 1200 − 1000 = 200 元。
驗算(直接加權):未出事(0.995)賺 1200;出事(0.005)賺 1200 − 200000 = −198800。
E = 0.995×1200 + 0.005×(−198800) = 1194 − 994 = 200,一致。
每張保單期望利潤 200 元
保費要高於「期望理賠 1000 元」公司才有利潤空間;這 200 元差額正是公司的期望毛利。