第二冊 · 單元 05

排列組合

「有幾種可能?」的學問。核心分兩件事:排列在意順序(AB ≠ BA),組合不在意順序({A,B} = {B,A})。用樹狀圖與格子圖,把抽象的計數變成看得見的路徑。

1乘法原理:一步一步分叉

分幾階段做,總數就是各階段選擇數相乘

選上衣有 2 種、選褲子有 3 種,那麼一整套穿搭有幾種?2 × 3 = 6。畫成樹狀圖,每條「從頭走到底」的路徑,就是一種結果——數路徑,就是數答案。

看樹: 從「開始」先分出 2 件上衣,每件再各自分出 3 條褲子。最右邊共 6 個末端,就是 2×3 種穿搭。這就是乘法原理。

P(n,r) = n!(n−r)! · C(n,r) = P(n,r)r! = n!r!(n−r)!

從 A、B、C 三人選 2 位:若排順序(如選正副班長)有 6 種;若不排順序(如選 2 人代表)只有 3 種。差在哪?每一組 2 人,都能排出 2! = 2 種順序——所以 C = P ÷ r!。

怎麼判斷用哪個問自己:「換順序算不算不同?」——算(名次、座位、密碼)→ 排列;不算(小組、握手、連線)→ 組合。

組合數 C(n,r) 的地圖

把 C(n,r) 排成三角形,會出現一個神奇規律:每個數 = 它左上與右上兩數之和。這對應「選或不選最後一個東西」的分類思考。滑鼠移過去,看它從哪兩個數相加而來。

把滑鼠移到任一格: 該格會亮起,上方兩個「爸媽」也一起亮 —— 它們相加就是這一格。第 n 列就是 (a+b)ⁿ 的展開係數。

只能往右、往上,走到對角有幾條路?

從左下走到右上、每步只能往右或往上,共有幾條路?答案是 C(m+n, m)。更妙的是:每個路口的數字 = 從左邊與下邊來的數字相加——這正是躺著的巴斯卡三角形!

拉格子大小: 每個路口標的數,是「走到這裡的方法數」。右上角那個大數,就是總路徑數 = C(5,2)=10。

(a + b)ⁿ = Σ C(n,k) a^n−k b^k

展開 (a+b)ⁿ,各項的係數正好是巴斯卡三角形第 n 列。畫成長條圖,會看到一個對稱的鐘形——中間最大、兩端最小(因為 C(n,k)=C(n,n−k))。

拉次方 n: 長條高度就是係數 C(n,k)。左右對稱,中央最高。這也是機率裡「二項分布」鐘形的由來。