18 題,對應單元的五大主題:乘法與加法原理、排列與組合、巴斯卡三角形、格子路徑、二項式定理。先自己算,再點開解答對答案——卡住的題把觀念補回教學頁。
某套餐可自由搭配:主餐 3 種、飲料 4 種、甜點 2 種,三類各選一項。一份套餐共有幾種搭配?
分成三個階段各自獨立挑選,用乘法原理把每階段的選擇數相乘。
3 × 4 × 2 = 24。
24 種
用 0～9 這 10 個數字設定一組 4 位數密碼,每一位都可以重複使用。共有幾種不同的密碼?
4 個位置各自都有 10 種選擇(可重複),用乘法原理。
10 × 10 × 10 × 10 = 104 = 10000。
10000 種
由 1, 2, 3, 4, 5 五個數字,每個數字最多用一次。
(1) 可組成多少個三位數? (2) 其中是偶數的有幾個?
(1) 百、十、個位依序不重複地選:5 × 4 × 3 = 60。
(2) 偶數的個位必須是 2 或 4,先固定個位有 2 種;再從剩下 4 個數字排百位、十位:4 × 3 = 12。
2 × 12 = 24。
(1) 60 個 (2) 24 個
易錯:有「限制」的位置(這裡是個位)要先安排,再處理其餘位置。
書架上有 5 本不同的數學書與 3 本不同的英文書。
(1) 任取一本書,有幾種取法? (2) 數學、英文各取一本,有幾種取法?
(1)「取一本」= 分成兩類(拿數學 或 拿英文),兩類不會同時發生,用加法原理:5 + 3 = 8。
(2)「各取一本」= 分兩階段完成(先選數學再選英文),用乘法原理:5 × 3 = 15。
(1) 8 種 (2) 15 種
口訣:分類用「加」、分步用「乘」。
直接求值:P(5,2)、P(6,3)、C(5,2)、C(6,3)。
P(5,2) = 5 × 4 = 20;P(6,3) = 6 × 5 × 4 = 120。
C(5,2) = P(5,2) ÷ 2! = 20 ÷ 2 = 10;C(6,3) = P(6,3) ÷ 3! = 120 ÷ 6 = 20。
20、120、10、20
提醒:C(n,r) 就是先算排列 P(n,r),再除掉那 r 個東西自己的排法 r!。
班上 8 位同學:
(1) 選出 正班長、副班長各一位(職務不同),有幾種選法? (2) 選出 2 位班級代表(不分職務),有幾種選法?
(1) 正、副班長是不同職務,換人擔任算不同 → 在意順序,用排列:P(8,2) = 8 × 7 = 56。
(2) 兩位代表地位相同,誰先誰後沒差別 → 不在意順序,用組合:C(8,2) = 56 ÷ 2! = 28。
(1) 56 種 (2) 28 種
5 位同學排成一列拍照。
(1) 共有幾種排法? (2) 若甲、乙兩人必須相鄰,又有幾種排法?
(1) 5 人全排列:5! = 120。
(2) 把甲、乙「綁成一塊」當成 1 個單位,與其他 3 人共 4 個單位排列:4! = 24。
再考慮塊內甲、乙自己的順序(甲乙 或 乙甲):2! = 2。
24 × 2 = 48。
(1) 120 種 (2) 48 種
易錯:相鄰用「捆綁法」後,別忘了乘上塊內部的排法 2!。
某社團有 7 位男生、5 位女生,要選出 3 人參加比賽。
(1) 共有幾種選法? (2) 其中至少含 1 位女生的選法有幾種?
(1) 12 人選 3 人(不分順序):C(12,3) = (12 × 11 × 10) ÷ 3! = 1320 ÷ 6 = 220。
(2)「至少 1 女」情況很多,改算反面:全部 − 一個女生都沒選(3 人全是男生)。
全男:C(7,3) = (7 × 6 × 5) ÷ 6 = 35。
至少 1 女 = 220 − 35 = 185。
(1) 220 種 (2) 185 種
遇到「至少」先想補集(全部 − 都不要),常比逐類相加快很多。
寫出巴斯卡三角形的第 5 列,也就是 C(5,0) 到 C(5,5) 這 6 個數。
依序 C(5,0)=1、C(5,1)=5、C(5,2)=10、C(5,3)=10、C(5,4)=5、C(5,5)=1。
1 5 10 10 5 1
也可由上一列 1 4 6 4 1,把相鄰兩數相加(前後補 1)得到:1、1+4=5、4+6=10、6+4=10、4+1=5、1。
已知 C(7,3) = 35、C(7,4) = 35。利用巴斯卡三角形「每格 = 上方兩數之和」的規律,求 C(8,4)。
巴斯卡遞迴:C(n,r) = C(n−1,r−1) + C(n−1,r)。
令 n=8、r=4:C(8,4) = C(7,3) + C(7,4) = 35 + 35 = 70。
C(8,4) = 70
意義:第 8 列的這一格,正好等於第 7 列它左上與右上兩數相加。
(1) 不必算出數值,說明為何 C(20,17) = C(20,3)。 (2) 求 C(20,3) 的值。
(1) 對稱性 C(n,r) = C(n,n−r):從 20 個中「選出 17 個」等於「決定哪 3 個不選」,兩件事一一對應。因為 20 − 17 = 3,所以 C(20,17) = C(20,3)。
(2) C(20,3) = (20 × 19 × 18) ÷ 3! = 6840 ÷ 6 = 1140。
C(20,3) = 1140
算 C(20,17) 若硬乘 17 個數很麻煩;用對稱性換成 C(20,3) 就輕鬆多了。
方格街道上,從 A 走到 B,每步只能往右或往上。若全程需往右 4 格、往上 3 格,最短路徑共有幾條?
一條路徑就是由 4 個「右」與 3 個「上」共 7 步排成;只要決定這 7 步中哪 3 步是「上」即可。
C(4+3, 3) = C(7,3) = (7 × 6 × 5) ÷ 6 = 35。
35 條
也可以算 C(7,4)(選哪 4 步往右),答案一樣是 35(對稱性)。
從 A 到 B,每步只能往右或往上。A 到 B 全程需往右 5 格、往上 4 格,且中途必須經過補給站 P(P 在 A 往右 2 格、往上 2 格處)。這樣的最短路徑有幾條?
拆成兩段:A → P,再 P → B,兩段方法數相乘(乘法原理)。
A → P:右 2、上 2 → C(4,2) = 6。
P → B:剩下右 3、上 2 → C(5,2) = 10。
6 × 10 = 60。
60 條
從 A 到 B 需往右 4 格、往上 4 格,每步只能往右或往上。但正中央的路口 P(A 往右 2 格、往上 2 格處)正在施工無法通過。可行的最短路徑有幾條?
用補集:可行路徑 = 全部路徑 − 會經過 P 的路徑。
全部:右 4、上 4 → C(8,4) = 70。
經過 P:A → P 為 C(4,2) = 6,P → B 為 C(4,2) = 6,相乘 6 × 6 = 36。
70 − 36 = 34。
34 條
易錯:「經過 P」要把 A→P 與 P→B 相乘(得 36),不是只扣一個 C(4,2)。
利用二項式定理(或巴斯卡三角形第 4 列)展開 (a + b)4。
第 4 列的係數是 1、4、6、4、1;a 的次方由 4 遞減,b 的次方由 0 遞增。
(a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4。
a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
求 (x + 2)5 展開式中 x3 項的係數。
通項為 C(5,k) · x5−k · 2k。要出現 x3,令 5 − k = 3 → k = 2。
係數 = C(5,2) · 22 = 10 × 4 = 40。
係數為 40(該項為 40x3)
易錯:別只寫 C(5,2)=10,常數項 2k 也要一起算進係數。
求 (2x − 3)4 展開式中 x3 項的係數。
看成 (a + b)4,其中 a = 2x、b = −3。通項 C(4,k) · (2x)4−k · (−3)k。
要出現 x3,令 4 − k = 3 → k = 1。
係數 = C(4,1) · 23 · (−3)1 = 4 × 8 × (−3) = −96。
係數為 −96(該項為 −96x3)
易錯:2 的次方(23)與 (−3) 的符號都要算進去,結果為負。
(1) 求 (1 + x)6 展開後所有係數的總和。 (2) 由此說明巴斯卡三角形第 6 列各數之和等於多少。
(1) 求係數和的技巧:把 x 代成 1(令 x = 1),式子變成 (1 + 1)6 = 26 = 64。
(2) 展開 (1+x)6 的各係數正是 C(6,0)、C(6,1)、…、C(6,6),也就是巴斯卡第 6 列。
故 C(6,0) + C(6,1) + … + C(6,6) = 26 = 64。
(1) 64 (2) 64
通則:第 n 列之和 = C(n,0)+…+C(n,n) = 2n(對應 n 個元素每個「選或不選」共 2n 種)。