第二冊 · 單元 04

數列與級數

數列是「排好隊的一串數」。等差是一步步等距地走(畫出來是直線),等比是每步乘同一個倍數(畫出來是指數曲線)。把它們畫成點,規律一眼看穿。

1等差數列:等距的點,排成直線

aₙ = a₁ + (n − 1)d

每一項都比前一項多 d(公差)。把第 n 項畫成點 (n, aₙ),你會發現所有點恰好落在一條直線上——斜率就是公差 d。等差數列,本質上就是離散版的一次函數。

拉拉看: 首項 a₁ 決定起點高度、公差 d 決定每步爬升。d 是正就往上、負就往下,點永遠共線。

Sₙ = n(a₁ + aₙ)2

把 1+2+…+n 正著加一次、倒著加一次疊起來,每一欄的高度都一樣(=首項+末項)!所以「兩倍的和 = n 欄 ×(a₁+aₙ)」,再除以 2 就得到公式。這就是高斯小時候的把戲。

看配對: 藍色是正著排 1,2,…,n;橘色是倒著排 n,…,2,1。每一欄藍+橘 = a₁+aₙ 都相同,拼成一個完整的矩形。

aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹

公比 r > 1 就爆炸性成長、0 < r < 1 就快速衰退。畫成點,是離散版的指數函數——這也是為什麼「利滾利」「病毒擴散」都是等比。

拉公比 r: r 越大,後面幾項衝得越高;r < 1 時越走越貼近 0。虛線是連續的指數曲線,數列點就落在上面。

|r| < 1 時 S = a₁1 − r

當 |r| < 1,每一項越加越小,部分和 Sₙ 越來越靠近一個定值卻永遠不超過。這就是「收斂」。經典例子:½ + ¼ + ⅛ + … 加起來剛好是 1。

拉公比 r: 綠點是部分和 Sₙ,一步步逼近極限線 a₁/(1−r)。

方塊折半: 把單位正方形不斷對半切,½+¼+⅛+…每一塊都填進去,剛好鋪滿整個「1」。無窮多項,和卻是有限的。