第二冊 · 題庫 04

數列與級數 · 題庫

18 題,涵蓋單元五大主題:等差數列、等差級數、等比數列、等比與無窮等比級數、Σ 記號求和。先自己算,再點開解答對答案——不會的題把觀念補回教學頁。

基礎進階挑戰

群組 1 · 等差數列

1-1求第 n 項基礎

等差數列首項 a₁ = 3、公差 d = 4。求一般項 a_n 與第 10 項 a₁₀。

解答

套用 a_n = a₁ + (n − 1)d = 3 + (n − 1)·4 = 4n − 1。

代 n = 10:a₁₀ = 4·10 − 1 = 39。

a_n = 4n − 1,a₁₀ = 39

1-2求公差與首項基礎

等差數列中 a₃ = 11、a₇ = 27。求首項 a₁ 與公差 d。

解答

a₇ − a₃ = (7 − 3)d = 4d = 27 − 11 = 16 → d = 4。

a₁ = a₃ − 2d = 11 − 2·4 = 3。

a₁ = 3,d = 4

1-3插入等差中項進階

在 3 與 23 之間插入 3 個數,使這 5 個數依序成等差數列。求所插入的三數。

解答

插入 3 個後共 5 項,故 a₁ = 3、a₅ = 23。

a₅ = a₁ + 4d → 23 = 3 + 4d → d = (23 − 3)/4 = 5。

依序加 d:3 → 8 → 13 → 18 → 23。

8、13、18

易錯:插入 3 個數是「除以 4」不是除以 3——項數是 5、間隔有 4 段。

1-4求某數是第幾項進階

等差數列 5, 8, 11, 14, …,問 101 是第幾項?

解答

a₁ = 5、d = 3,故 a_n = 5 + (n − 1)·3 = 3n + 2。

令 3n + 2 = 101 → 3n = 99 → n = 33。

第 33 項

群組 2 · 等差級數

2-1高斯配對求和基礎

求 1 + 2 + 3 + … + 100。

解答

高斯配對:正著加一次、倒著加一次疊起來,每一欄都是首 + 末 = 1 + 100 = 101,共 100 欄。

兩倍的和 = 100·101 = 10100,除以 2 → S = 100(1 + 100)/2 = 5050。

5050

2-2前 n 項和公式基礎

等差數列 a₁ = 2、d = 3,求前 20 項的和 S₂₀。

解答

用 S_n = n[2a₁ + (n − 1)d]/2。

S₂₀ = 20·[2·2 + 19·3]/2 = 20·[4 + 57]/2 = 20·61/2 = 610。

S₂₀ = 610

驗算:a₂₀ = 2 + 19·3 = 59,S₂₀ = 20(2 + 59)/2 = 610 ✓。

2-3由 S_n 反推進階

某等差數列前 n 項和為 S_n = 2n² + 3n。求首項 a₁ 與公差 d。

解答

首項就是前 1 項的和:a₁ = S₁ = 2·1² + 3·1 = 5。

S₂ = 2·4 + 3·2 = 14,故 a₂ = S₂ − S₁ = 14 − 5 = 9。

d = a₂ − a₁ = 9 − 5 = 4。

a₁ = 5,d = 4

易錯:a₁ = S₁,不能把 n = 1 代進「a_n = S_n − S_n−1」(那條式子從 n ≥ 2 才成立)。

2-4由和反求項數挑戰

等差級數 3 + 7 + 11 + 15 + … 的總和為 210。共加了幾項?

解答

a₁ = 3、d = 4,S_n = n[2·3 + (n − 1)·4]/2 = n(4n + 2)/2 = n(2n + 1)。

令 n(2n + 1) = 210 → 2n² + n − 210 = 0。

判別式 = 1 + 4·2·210 = 1681 = 41²,n = (−1 + 41)/4 = 10(取正整數)。

共 10 項

驗算:S₁₀ = 10·(2·10 + 1) = 10·21 = 210 ✓。

群組 3 · 等比數列

3-1求公比與第 n 項基礎

等比數列 3, 6, 12, 24, …。求公比 r、一般項 a_n 與第 7 項 a₇。

解答

公比 = 後項 ÷ 前項:r = 6 ÷ 3 = 2。

a_n = a₁·rⁿ⁻¹ = 3·2ⁿ⁻¹。

a₇ = 3·2⁶ = 3·64 = 192。

r = 2,a_n = 3·2ⁿ⁻¹,a₇ = 192

3-2等比中項進階

求 4 與 25 的等比中項(兩個值)。

解答

設等比中項為 G,則 4, G, 25 成等比,G 為前後兩項的比例中項:G² = 4·25 = 100。

G = ±√100 = ±10。

G = 10 或 −10

易錯:等比中項有正負兩解,別漏掉 −10(G = −10 時數列為 4, −10, 25,公比 −2.5 仍成等比)。

3-3求公比與首項進階

等比數列中 a₂ = 6、a₅ = 48。求公比 r 與首項 a₁。

解答

a₅ ÷ a₂ = r⁵⁻² = r³ = 48 ÷ 6 = 8 → r = 2。

a₁ = a₂ ÷ r = 6 ÷ 2 = 3。

r = 2,a₁ = 3

驗算:a₅ = 3·2⁴ = 48 ✓。

群組 4 · 等比級數與無窮等比級數

4-1有限等比和基礎

求 2 + 6 + 18 + 54 + 162。

解答

等比 a₁ = 2、r = 3、共 5 項,用 S_n = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1)。

S₅ = 2·(3⁵ − 1)/(3 − 1) = 2·(243 − 1)/2 = 242。

242

4-2無窮等比和基礎

求無窮等比級數 1 + ½ + ¼ + ⅛ + … 的和。

解答

a₁ = 1、r = ½,因為 |r| = ½ < 1 才收斂,可用 S = a₁/(1 − r)。

S = 1/(1 − ½) = 1/(½) = 2。

4-3循環小數化分數進階

將循環小數化成最簡分數:0.3̇ (= 0.333…) 與 0.1̇2̇ (= 0.1212…)。

解答

0.333… = 3/10 + 3/100 + …,是 a₁ = 3/10、r = 1/10 的無窮等比。

S = (3/10)/(1 − 1/10) = (3/10)/(9/10) = 3/9 = 1/3。

0.1212… 每 2 位循環,a₁ = 12/100、r = 1/100。

S = (12/100)/(1 − 1/100) = (12/100)/(99/100) = 12/99 = 4/33。

0.333… = 1/3,0.1212… = 4/33

易錯:兩位循環時公比是 1/100 不是 1/10;分母對應「循環幾位就幾個 9」(99)。

4-4收斂 / 發散判斷挑戰

判斷下列無窮等比級數是否收斂;收斂者求其和。

(甲) 1 + 2 + 4 + 8 + …　(乙) 8 − 4 + 2 − 1 + …

解答

收斂條件是 |r| < 1,先各自求公比。

(甲) r = 2,|r| = 2 ≥ 1 → 發散(項越加越大,沒有和)。

(乙) r = −½,|r| = ½ < 1 → 收斂。S = 8/(1 − (−½)) = 8/(3/2) = 16/3。

甲發散;乙收斂,和 = 16/3

易錯:一定要先檢查 |r| < 1 才能套 a₁/(1 − r);(甲) 若硬套會得 1/(1 − 2) = −1 這種荒謬結果。

群組 5 · Σ 記號求和

5-1Σ 的線性基礎

求 Σ_k=1¹⁰ (2k + 1)(即 3 + 5 + 7 + … + 21)。

解答

用 Σ 的線性拆開:Σ(2k + 1) = 2·Σk + Σ1。

其中 Σ_k=1¹⁰ k = n(n + 1)/2 = 10·11/2 = 55;Σ_k=1¹⁰ 1 = 10(十個 1)。

= 2·55 + 10 = 120。

120

5-2平方和公式進階

求 1² + 2² + 3² + … + 10²(即 Σ_k=1¹⁰ k²)。

解答

用平方和公式 Σ_k=1ⁿ k² = n(n + 1)(2n + 1)/6。

代 n = 10:= 10·11·21/6 = 2310/6 = 385。

385

5-3Σ 綜合挑戰

求 Σ_k=1ⁿ (k² + k),以 n 表示;並求 n = 6 時的值。

解答

拆開:Σ(k² + k) = Σk² + Σk = n(n + 1)(2n + 1)/6 + n(n + 1)/2。

提出共同因子 n(n + 1)/6:= n(n + 1)/6 · [(2n + 1) + 3] = n(n + 1)(2n + 4)/6 = n(n + 1)(n + 2)/3。

代 n = 6:6·7·8/3 = 336/3 = 112。

Σ(k² + k) = n(n + 1)(n + 2)/3;n = 6 時為 112

驗算:(1+1)+(4+2)+(9+3)+(16+4)+(25+5)+(36+6) = 2+6+12+20+30+42 = 112 ✓。