第一冊 · 單元 03

指數與對數

指數描述「爆炸性成長與衰退」,對數是它的逆運算——把難算的乘法變成好算的加法。兩者互為反函數,是同一枚硬幣的兩面。

1指數函數:成長 vs 衰退

y = a^x（a > 0, a ≠ 1）

底數 a > 1 時,圖形往右暴衝(成長);0 < a < 1 時,往右迅速貼地(衰退)。但不管 a 是多少,圖形一定通過 (0, 1)——因為任何數的 0 次方都是 1。

拉底數 a: 看曲線在 a>1 與 a<1 之間翻轉。無論如何,(0,1) 這個定點都被曲線牢牢釘住,(1, a) 則直接顯示底數。

y = log_ax ⟺ a^y = x

「log₂8 = 3」讀作:2 要幾次方才會變成 8?答案 3。因為互為反函數,y = 2^x 與 y = log₂x 的圖形對直線 y = x 對稱,把彼此的「輸入」與「輸出」對調。

看鏡像: y = 2^x 把 1 送到 2;y = log₂x 把 2 送回 1。指數曲線的定點 (0,1),照鏡子後變成對數曲線的定點 (1,0)。

定義域對調指數 y=a^x:x 可為任意實數,y 恆正。對數 y=log_ax:x 必須為正,y 可為任意實數。這正是「反函數把定義域與值域對調」。

log(xy) = log x + log y

這是對數最強的魔法,也是古人發明它的原因:相乘變相加。在「對數尺」上,2 到 6 的距離,恰好等於 1 到 3 的距離——因為 log 6 = log 2 + log 3。

看圖: 這是一把對數尺(刻度依 log 排,不是等距)。1→2 的長度 = log 2,接著2→6 的長度 = log 3,兩段接起來剛好落在 6 = 2×3。乘法問題,被翻譯成長度相加。

log(xy)=log x+log y · logxy=log x−log y · log xⁿ=n·log x

指數衰退 N = N₀ · (½)^t/T

放射性物質、藥物代謝、咖啡因……都遵循指數衰退。半衰期 T 是「量減半所需的時間」:每過一個 T,就再乘一次 ½。這是等比,不是等差——所以永遠減不到 0,只是越來越接近。

拉半衰期 T: 從 100 出發,每過一個 T,綠色水平線標出剩下的量:100 → 50 → 25 → 12.5……階梯般地折半。T 越大,衰退越慢。

對數尺度無所不在地震規模、聲音分貝、溶液 pH、星等——都用對數壓縮巨大的數字範圍。規模差 1,實際能量差 10 倍(或更多),這就是為什麼「規模 7」比「規模 6」可怕得多。