第一冊 · 題庫 03

指數與對數 · 題庫

18 題,涵蓋指數函數的成長與衰退、對數與指數互為反函數、對數律、以及半衰期與對數尺度的實際應用。先自己算,再點開解答對答案——不會的題把觀念補回教學頁。

基礎進階挑戰

群組 1 · 指數函數:成長與衰退

1-1指數函數求值基礎

設 f(x) = 2^x,求 f(0)、f(3)、f(−2)、f(1/2)。

解答

f(0) = 2⁰ = 1(任何非零數的 0 次方都是 1)。

f(3) = 2³ = 8。

f(−2) = 2⁻² = 1/2² = 1/4。

f(1/2) = 2^1/2 = √2。

1、8、1/4、√2

1-2恆過定點與單調性基礎

關於 y = a^x(a > 0, a ≠ 1):

(1) 不論底數 a 為何,圖形一定通過哪一點?(2) y 值的範圍為何?(3) 當 a > 1 與 0 < a < 1 時,圖形分別呈現成長還是衰退?

解答

(1) 必過 (0, 1),因為 a⁰ = 1 對任何底數都成立。

(2) y 恆正,範圍為 y > 0(曲線永遠在 x 軸上方,碰不到 0)。

(3) a > 1:往右暴衝,為成長(遞增);0 < a < 1:往右貼地,為衰退(遞減)。

過 (0,1);y > 0;a>1 成長、0<a<1 衰退

1-3比大小進階

比較下列各組數的大小(填 > 或 <):

(1) 2^1.5 與 2^1.4(2) (1/2)³ 與 (1/2)⁵(3) 0.9¹⁰ 與 0.9¹¹

解答

看底數決定「遞增或遞減」,再比指數。

(1) 底數 2 > 1,函數遞增,指數大者大:2^1.5 > 2^1.4。

(2) 底數 1/2 < 1,函數遞減,指數大者反而小:(1/2)³ = 1/8、(1/2)⁵ = 1/32,故 (1/2)³ > (1/2)⁵。

(3) 底數 0.9 < 1,遞減:0.9¹⁰ > 0.9¹¹。

(1) >　(2) >　(3) >

易錯:底數小於 1 時,「指數越大、值越小」,不等號方向和 a>1 時相反。

1-4指數方程進階

解下列方程式(化成同底再比較指數):

2^x = 64、3^x = 1/81、8^x = 32、(1/2)^x = 16

解答

2^x = 64 = 2⁶ → x = 6。

3^x = 1/81 = 3⁻⁴ → x = −4。

8^x = 32 → (2³)^x = 2⁵ → 2^3x = 2⁵ → 3x = 5 → x = 5/3。

(1/2)^x = 16 → 2^−x = 2⁴ → −x = 4 → x = −4。

x = 6、−4、5/3、−4

1-5比大小(化同指數)挑戰

不用計算機,比較 2⁶⁰ 與 3⁴⁰ 的大小。

解答

指數 60 與 40 的最大公因數是 20,把兩數都改寫成「某數的 20 次方」。

2⁶⁰ = (2³)²⁰ = 8²⁰;3⁴⁰ = (3²)²⁰ = 9²⁰。

同為 20 次方(次方為正,遞增),底數 8 < 9,故 8²⁰ < 9²⁰。

2⁶⁰ < 3⁴⁰

技巧:指數不同、難直接比時,先把指數湊成相同(取公因數),再比底數。

群組 2 · 對數:指數的反函數

2-1指數式 ⟺ 對數式基礎

利用 log_ax = y ⟺ a^y = x,把指數式改寫為對數式、對數式改寫為指數式:

(1) 2⁵ = 32(2) 10⁻² = 0.01(3) log₃81 = 4(4) log₅(1/25) = −2

解答

(1) 底 2、指數 5、結果 32 → log₂32 = 5。

(2) log₁₀0.01 = −2(即 log 0.01 = −2)。

(3) 底 3、答案 4、真數 81 → 3⁴ = 81。

(4) 5⁻² = 1/25。

log₂32=5;log₁₀0.01=−2;3⁴=81;5⁻²=1/25

2-2對數求值基礎

求值:log₂16、log₃(1/9)、log₁₀1000、log₅1、log₇7。

解答

log₂16:2 的幾次方等於 16?2⁴=16 → 4。

log₃(1/9) = log₃3⁻² → −2。

log₁₀1000 = log₁₀10³ → 3。

log₅1 = 0(任何底的 log 1 都是 0,對應對數圖形恆過 (1,0))。

log₇7 = 1(log_aa = 1)。

4、−2、3、0、1

2-3對數定義域進階

求下列函數的定義域(對數的真數必須為正):

(1) f(x) = log₂(x − 3)(2) g(x) = log₁₀(5 − x)(3) h(x) = log₃(2x + 1)

解答

(1) 真數 x − 3 > 0 → x > 3。

(2) 真數 5 − x > 0 → x < 5。

(3) 真數 2x + 1 > 0 → x > −1/2。

(1) x > 3　(2) x < 5　(3) x > −1/2

2-4對數方程(互換求解)進階

解下列方程式:(1) log₂x = 5(2) log₃(x − 1) = 2(3) log_x8 = 3(4) log₄x = 1/2

解答

用 log_ax = y ⟺ a^y = x 把對數式還原成指數式。

(1) x = 2⁵ = 32。

(2) x − 1 = 3² = 9 → x = 10(檢驗 x−1=9>0 ✓)。

(3) x³ = 8 → x = 2(底數需 >0 且 ≠1,x=2 合格)。

(4) x = 4^1/2 = 2。

x = 32、10、2、2

群組 3 · 對數律:把乘除變加減

3-1對數律 + 已知近似值基礎

已知 log 2 ≈ 0.301、log 3 ≈ 0.477(此處 log 為常用對數,即以 10 為底)。求下列近似值:

log 6、log 4、log 9、log 5

解答

log 6 = log(2·3) = log 2 + log 3 ≈ 0.301 + 0.477 = 0.778。

log 4 = log 2² = 2·log 2 ≈ 2 × 0.301 = 0.602。

log 9 = log 3² = 2·log 3 ≈ 2 × 0.477 = 0.954。

log 5 = log(10/2) = log 10 − log 2 = 1 − 0.301 = 0.699。

0.778、0.602、0.954、0.699

近似值取自題目給定的 log 2 ≈ 0.301、log 3 ≈ 0.477。log 5 的技巧:把 5 看成 10÷2。

3-2對數律求值(整數)基礎

利用對數律求值:(1) log₂4 + log₂8(2) log₃18 − log₃2(3) log₆4 + log₆9

解答

(1) 相加→相乘:log₂4 + log₂8 = log₂(4·8) = log₂32 = 5。(也可直接 2 + 3 = 5)

(2) 相減→相除:log₃18 − log₃2 = log₃(18/2) = log₃9 = 2。

(3) log₆4 + log₆9 = log₆(4·9) = log₆36 = 2。

5、2、2

3-3換底公式進階

用換底公式 log_ab = log_cb / log_ca 求值:

(1) log₄8(2) log₉27(3) log₂3 · log₃8

解答

(1) 都換成底 2:log₄8 = log₂8 / log₂4 = 3/2。(驗:4^3/2 = 2³ = 8 ✓)

(2) 都換成底 3:log₉27 = log₃27 / log₃9 = 3/2。

(3) log₃8 換成底 2:= log₂8 / log₂3,故 log₂3 · (log₂8 / log₂3) = log₂8 = 3。

3/2、3/2、3

連乘技巧:log₂3 · log₃8 的中間量 3 會約掉,只剩 log₂8。

3-4位數問題挑戰

已知 log 2 ≈ 0.301(常用對數)。試問 2³⁰ 是幾位數的整數?

解答

先取常用對數:log(2³⁰) = 30·log 2 ≈ 30 × 0.301 = 9.03。

這代表 10⁹ ≤ 2³⁰ < 10¹⁰(因為 9 ≤ 9.03 < 10)。

一個正整數 N 的位數 = ⌊log N⌋ + 1 = ⌊9.03⌋ + 1 = 9 + 1 = 10。

10 位數

驗證:2³⁰ = 1073741824,正好 10 位數 ✓。近似值取自題目給定的 log 2 ≈ 0.301。

3-5對數方程(對數律 + 定義域)挑戰

解方程式 log₂(x + 2) + log₂(x − 1) = 2。

解答

先用對數律把左式合併:log₂[(x + 2)(x − 1)] = 2。

還原成指數式:(x + 2)(x − 1) = 2² = 4。

展開解方程:x² + x − 2 = 4 → x² + x − 6 = 0 → (x + 3)(x − 2) = 0 → x = 2 或 x = −3。

檢驗定義域:真數須為正,需 x + 2 > 0 且 x − 1 > 0,即 x > 1。x = 2 合格;x = −3 使 x − 1 = −4 < 0,捨去。

x = 2

易錯:解對數方程「合併去 log」後,務必把答案代回檢查真數皆為正,x = −3 是增根要丟掉。

群組 4 · 應用:半衰期與對數尺度

4-1半衰期基礎

某放射性元素半衰期為 8 天,一開始有 400 克。

(1) 8 天、16 天、24 天後各剩多少克?(2) 經過多久會剩下 25 克?

解答

(1) 每過一個半衰期(8 天)就乘一次 1/2:

8 天:400 × 1/2 = 200 克;16 天:200 × 1/2 = 100 克;24 天:100 × 1/2 = 50 克。

(2) 設經過 n 個半衰期:400 × (1/2)ⁿ = 25 → (1/2)ⁿ = 25/400 = 1/16 = (1/2)⁴ → n = 4。

4 個半衰期 = 4 × 8 = 32 天。

200、100、50 克;32 天後剩 25 克

4-2分貝(對數尺度)進階

聲音的分貝值 L 與強度 I 的關係為 L = 10·log(I / I₀)(I₀ 為基準強度)。

(1) 若強度變為原來的 100 倍,分貝增加多少?(2) 若分貝增加了 30,強度變為原來的幾倍?

解答

(1) 強度乘 100,分貝的變化量 ΔL = 10·log(100) = 10 × 2 = 20 分貝。

(2) 設強度變 k 倍:ΔL = 10·log k = 30 → log k = 3 → k = 10³ = 1000 倍。

增加 20 分貝;強度變 1000 倍

對數尺度:分貝是「加法」,強度是「乘法」——分貝每加 10,強度就乘 10。

4-3地震規模(對數尺度)挑戰

芮氏地震規模 M 與地震波最大振幅 A 的關係約為 M = log(A / A₀)(A₀ 為基準振幅,即規模每差 1 級,振幅差 10 倍)。

(1) 甲地震規模 7、乙地震規模 5,甲的振幅是乙的幾倍?(2) 若丙地震的振幅是乙的 1000 倍,丙的規模為何?

解答

兩地規模相減,基準 A₀ 會消掉:M_甲 − M_乙 = log(A_甲/A₀) − log(A_乙/A₀) = log(A_甲/A_乙)。

(1) 7 − 5 = 2 → log(A_甲/A_乙) = 2 → A_甲/A_乙 = 10² = 100 倍。

(2) A_丙/A_乙 = 1000 = 10³ → M_丙 − M_乙 = log(1000) = 3 → M_丙 = 5 + 3 = 8。

甲是乙的 100 倍;丙規模為 8

重點:規模是振幅的常用對數,規模差 1 級 → 振幅差 10 倍,差 2 級 → 差 100 倍。

4-4pH 值(對數尺度)基礎

溶液的 pH 值定義為 pH = −log[H⁺]([H⁺] 為氫離子濃度,單位 mol/L)。

(1) 某溶液 [H⁺] = 10⁻³,求 pH。(2) 另一溶液 pH = 5,求其 [H⁺]。(3) 兩溶液 pH 相差 1,氫離子濃度相差幾倍?

解答

(1) pH = −log(10⁻³) = −(−3) = 3。

(2) 5 = −log[H⁺] → log[H⁺] = −5 → [H⁺] = 10⁻⁵ mol/L。

(3) pH 差 1,即 −log[H⁺] 差 1,對應濃度差 10¹ = 10 倍(pH 越小酸性越強)。

pH = 3;[H⁺] = 10⁻⁵ mol/L;相差 10 倍