第一冊 · 單元 02

多項式函數

一次是直線,二次是拋物線,更高次是起伏的曲線。這單元學會「看係數就想出圖形長相」,並用圖形反過來解方程式與不等式。

1一次函數:斜率決定傾斜

y = mx + k

m 是斜率——每往右 1 格,線就上升 m 格(m 負則下降);k 是 y 截距——線與 y 軸的交點高度。兩個數字,完全決定一條直線。

拉拉看: 改 m 看線轉動、改 k 看線上下平移。斜率就是「上升量 ÷ 右移量」,圖上的小三角形直接告訴你這個比值。

y = a(x − h)² + k

頂點式把三個祕密攤在眼前:頂點在 (h, k)、對稱軸是 x = h、a 決定開口(a > 0 開口向上、|a| 越大越窄)。這比一般式 ax²+bx+c 好懂太多。

三個滑桿: a 捏開口寬窄與朝向、h 左右移、k 上下移。紫色頂點永遠停在 (h, k),虛線就是對稱軸 x = h。

配方法把 ax²+bx+c 湊成 a(x−h)²+k,就能一眼讀出頂點:h = −b/2a,k = 代回去的值。這是二次函數所有題目的起點。

Δ = b² − 4ac 決定實根的個數

二次方程式的實根,就是拋物線與 x 軸的交點。把拋物線上下移動,你會親眼看到根從「兩個」變「一個」再變「沒有」——這正是判別式在說的事。

Δ > 0 → 交兩點 → 兩相異實根
Δ = 0 → 相切一點 → 重根
Δ < 0 → 不相交 → 無實根

頂點沉到 x 軸下 → 冒出兩個根;剛好碰到 → 重根;浮在 x 軸上 → 一個實根都沒有。

上下移動拋物線,即時數交點。

用「代一個數」就知道整除與否

餘式定理: f(x) 除以 (x − a),餘數就是 f(a)。因式定理: 若 f(a) = 0,則 (x − a) 是因式——圖形上,這代表曲線穿過 x 軸於 x = a。所以「找根」和「找因式」是同一件事。

看圖: f(x) = (x+2)(x−1)(x−3)。曲線在 x = −2, 1, 3 三處穿過 x 軸,對應三個因式;因為 f(1)=0,所以 (x−1) 整除 f(x),餘式為 0。

f(x) > 0 就是「圖形在 x 軸上方」的那些 x

解 f(x) > 0,別硬拆——先畫圖,在 x 軸上方的區段就是解。根把數線切成幾段,曲線在每段非正即負,交替出現。

綠色 = 正、紅色 = 負。 同一條 f(x) = (x+2)(x−1)(x−3):f(x) > 0 的解是 (−2, 1) ∪ (3, ∞);其餘區段 f(x) < 0。三個根把數線切四段,符號 −、+、−、+ 交替。

易錯符號不一定「每過一個根就變」——遇到重根(如 (x−2)²)符號不變號,曲線只是碰一下 x 軸又彈回。畫圖就不會錯。