18 題,對應單元的五大主題:一次函數、二次頂點式、判別式、餘式與因式定理、多項式不等式。先自己算,再點開解答對答案——多想「圖形長什麼樣」,不會的題把觀念補回教學頁。
直線 L 的斜率為 −2,且通過 y 軸上的點 (0, 3)。
(a) 寫出 L 的方程式;(b) 求 L 與 x 軸的交點座標。
(a) 斜率 m = −2 就是 x 前的係數,y 截距 k = 3 就是常數項,直接套 y = mx + k。
方程式:y = −2x + 3
(b) 與 x 軸交點的 y = 0:代入 0 = −2x + 3 → 2x = 3 → x = 3/2。
x 軸交點:(3/2, 0)
求通過 A(1, 2) 與 B(3, 8) 兩點的直線方程式。
斜率 = (y 差) ÷ (x 差) = (8 − 2) / (3 − 1) = 6 / 2 = 3。
設 y = 3x + k,代入 A(1, 2):2 = 3·1 + k → k = −1。
y = 3x − 1
驗算:代 x = 3 → 3·3 − 1 = 8,確實通過 B。
直線 L 通過 (−1, 4) 與 (2, −2)。求 L 的方程式,並判斷點 (5, −8) 是否在 L 上。
斜率 = (−2 − 4) / (2 − (−1)) = −6 / 3 = −2。
設 y = −2x + k,代 (2, −2):−2 = −4 + k → k = 2。
方程式:y = −2x + 2
檢驗 (5, −8):−2·5 + 2 = −10 + 2 = −8,等於該點 y 座標。
(5, −8) 在 L 上
已知 y = 2(x − 3)² − 5。寫出:
(a) 頂點座標、(b) 對稱軸、(c) 開口方向、(d) 有最大值還是最小值,值為多少?
頂點式 y = a(x−h)²+k 中,頂點 = (h, k)。這裡 h = 3、k = −5。
(a) 頂點 (3, −5);(b) 對稱軸 x = 3;(c) a = 2 > 0 → 開口向上。
(d) 開口向上 → 頂點是最低點 → 有最小值,即 k = −5(發生在 x = 3)。
頂點 (3, −5)、對稱軸 x = 3、開口向上、最小值 −5
將 y = x² − 6x + 5 用配方法化成頂點式,並求頂點。
取一次項係數 −6 的一半 −3,平方得 9,湊完全平方:
x² − 6x + 5 = (x² − 6x + 9) − 9 + 5 = (x − 3)² − 4。
y = (x − 3)² − 4,頂點 (3, −4)
驗算:展開 (x−3)² − 4 = x² − 6x + 9 − 4 = x² − 6x + 5 ✓。
求 y = 2x² + 8x + 3 的最小值,以及發生在哪個 x。
先把二次項係數 2 提出來,只對 x²+4x 配方:
2(x² + 4x) + 3 = 2(x² + 4x + 4 − 4) + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5。
a = 2 > 0 開口向上,頂點 (−2, −5) 即最低點。
最小值 −5,發生在 x = −2
另解:頂點 x = −b/2a = −8/4 = −2,代回求值也可。
某二次函數頂點為 (1, −4),且通過點 (3, 4)。求此函數(寫成頂點式),並求它與 y 軸的交點。
頂點在 (1, −4) → 先寫 y = a(x − 1)² − 4,只剩 a 未知。
代入 (3, 4):4 = a·(3 − 1)² − 4 → 4 = 4a − 4 → 4a = 8 → a = 2。
函數:y = 2(x − 1)² − 4
與 y 軸交點取 x = 0:y = 2·(−1)² − 4 = 2 − 4 = −2。
y 軸交點 (0, −2)
不解方程式,只用判別式判斷下列各式的實根個數:
(a) x² − 5x + 6 = 0;(b) x² − 4x + 4 = 0;(c) x² + x + 1 = 0
(a) Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1 > 0 → 兩相異實根。
(b) Δ = (−4)² − 4·1·4 = 16 − 16 = 0 → 重根(一個實根)。
(c) Δ = 1² − 4·1·1 = 1 − 4 = −3 < 0 → 無實根。
(a) 兩相異實根、(b) 重根、(c) 無實根
若 x² − 6x + k = 0 有重根,求 k 的值,並求此重根。
有重根 ⟺ Δ = 0。Δ = (−6)² − 4·1·k = 36 − 4k。
令 36 − 4k = 0 → 4k = 36 → k = 9。
重根 x = −b/2a = 6/2 = 3(此時 x² − 6x + 9 = (x − 3)²)。
k = 9,重根 x = 3
設方程式 x² − 2x + (k − 3) = 0。求 k 的範圍,使方程式 (a) 有兩相異實根;(b) 無實根。
先算判別式(a = 1、b = −2、c = k − 3):
Δ = (−2)² − 4·1·(k − 3) = 4 − 4(k − 3) = 4 − 4k + 12 = 16 − 4k。
(a) 兩相異實根 ⟺ Δ > 0:16 − 4k > 0 → 4k < 16 → k < 4。
(b) 無實根 ⟺ Δ < 0:16 − 4k < 0 → 4k > 16 → k > 4。
(a) k < 4;(b) k > 4
分界 k = 4 時 Δ = 0,恰為重根;想清楚「> 0 / = 0 / < 0」對應的圖形交點數。
設 f(x) = x³ − 2x² + 3x − 5。求 f(x) 除以 (x − 2) 的餘式。
餘式定理:f(x) 除以 (x − a) 的餘式就是 f(a)。這裡 a = 2。
f(2) = 2³ − 2·2² + 3·2 − 5 = 8 − 8 + 6 − 5 = 1。
餘式 = 1
餘式 ≠ 0,所以 (x − 2) 不整除 f(x)。
設 f(x) = x³ − 7x + 6。判斷 (x − 1) 與 (x + 1) 各是否為 f(x) 的因式。
因式定理:(x − a) 是因式 ⟺ f(a) = 0。
f(1) = 1 − 7 + 6 = 0 → (x − 1) 是因式。
f(−1) = (−1)³ − 7·(−1) + 6 = −1 + 7 + 6 = 12 ≠ 0 → (x + 1) 不是因式。
(x − 1) 是因式;(x + 1) 不是
已知 (x − 2) 是 f(x) = x³ + ax² − 4x + 4 的因式,求 a。
(x − 2) 是因式 → f(2) = 0。
f(2) = 2³ + a·2² − 4·2 + 4 = 8 + 4a − 8 + 4 = 4a + 4。
令 4a + 4 = 0 → a = −1。
a = −1
驗算:f(x) = x³ − x² − 4x + 4,f(2) = 8 − 4 − 8 + 4 = 0 ✓。
將 f(x) = x³ − 4x² + x + 6 完全因式分解(先試根找一個因式,再用綜合除法)。
常數項 6 的因數 ±1, ±2, ±3, ±6 逐一試:f(−1) = −1 − 4 − 1 + 6 = 0 → (x + 1) 是因式。
用綜合除法(以 −1 除),係數 1, −4, 1, 6:
1 →(×−1 加)→ −5 →(×−1 加)→ 6 →(×−1 加)→ 0,商為 x² − 5x + 6,餘 0。
再分解 x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)。
f(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 3)
已知 f(x) = x³ + ax² + bx − 6 同時以 (x − 1) 與 (x + 2) 為因式,求 a、b。
兩個都是因式 → f(1) = 0 且 f(−2) = 0,各列一式:
f(1) = 1 + a + b − 6 = 0 → a + b = 5。
f(−2) = −8 + 4a − 2b − 6 = 0 → 4a − 2b = 14 → 2a − b = 7。
兩式相加消去 b:(a + b) + (2a − b) = 5 + 7 → 3a = 12 → a = 4,再回代 b = 1。
a = 4,b = 1
驗算:f(x) = x³ + 4x² + x − 6,f(1) = 0、f(−2) = −8 + 16 − 2 − 6 = 0 ✓。
解不等式 x² − 5x + 6 < 0。
先因式分解找根:x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3),根為 x = 2、3。
開口向上的拋物線,只有在兩根之間才落到 x 軸下方(值為負)。
2 < x < 3,即 (2, 3)
端點:因為是嚴格 < 0,x = 2、3 使式子 = 0,不算,故為空心。
解不等式 (x + 1)(x − 2)(x − 4) > 0。
三個根 −1, 2, 4 把數線切成四段。最高次係數為正,最右段必為正,往左符號交替:
(4, ∞) 正、(2, 4) 負、(−1, 2) 正、(−∞, −1) 負(即 +、−、+、− 交替)。
要 > 0,取「正」的兩段。
−1 < x < 2 或 x > 4,即 (−1, 2) ∪ (4, ∞)
驗算:代 x = 0 → (1)(−2)(−4) = 8 > 0 ✓;代 x = 3 → (4)(1)(−1) = −4 < 0 ✓。
解不等式 (x − 1)²(x − 4) < 0。
根為 x = 1(重根)與 x = 4。關鍵:(x − 1)² 是平方,永遠 ≥ 0,只在 x = 1 時為 0。
當 x ≠ 1 時 (x − 1)² > 0,不等式的正負完全由 (x − 4) 決定,所以要 x − 4 < 0 → x < 4。
但 x = 1 會讓整式 = 0(不符嚴格 < 0),必須排除。
x < 4 且 x ≠ 1,即 (−∞, 1) ∪ (1, 4)
易錯提醒:通過重根 x = 1 時符號不變號(兩側都是負),只有通過單根 x = 4 才變號。