第一冊 · 單元 01

數與式

所有數學的地基。這一單元的核心其實只有一句話:把「數」放到數線上,一切都變成「位置」與「距離」——絕對值、不等式、區間,全都能用眼睛看。

1實數系與數線

每一個實數,都對應數線上唯一一個點

實數分成有理數(可寫成分數 pq,小數會循環或有限)與無理數(小數不循環不終止,如 √2、π)。它們一起把整條數線填滿沒有空隙。

看圖: 整數是等距的樁;−3/2 這種有理數落在樁與樁之間的「可算」位置;而 √2 ≈ 1.414、π ≈ 3.14 這些無理數,永遠寫不完卻也有自己精確的一點。

數系包含關係自然數 ⊂ 整數 ⊂ 有理數 ⊂ 實數。無理數 = 實數中「不是有理數」的部分。

這是本單元最重要的一句話

|x| 就是 x 到原點 0 的距離;更一般地,|x − a| 就是 x 到 a 的距離。距離不分方向,所以永遠 ≥ 0。把絕對值讀成「距離」,幾乎所有題目都會變簡單。

|x − a| = 點 x 到點 a 的距離

拉拉看: 移動紅點 x,上方藍色線段長度 = |x|(到 0 的距離),下方橘色線段 = |x − 3|(到 3 的距離)。無論 x 在左在右,長度永遠是正的。

把「距離的條件」翻譯成「數線上的一段」

|x − a| < r 讀作「x 到 a 的距離小於 r」,也就是 x 落在以 a 為中心、半徑 r 的開區間裡:

|x − a| < r ⟺ a − r < x < a + r

反過來 |x − a| > r 就是「距離大於 r」,x 跑到兩側,分成兩段。

拉半徑 r: 中心固定在 a = 2。綠色區段就是 |x − 2| < r 的所有解。r 越大,區間越寬。

易錯看到 |x − 2| < 3 別急著拆兩次!直接想「到 2 的距離 < 3」→ 從 2 往左右各走 3 →(−1, 5)。用距離想,一步到位。

開方,就是「次方」的反向操作

√x 問的是「哪個非負數平方後等於 x」。所以 y = √x 和 y = x²(x ≥ 0)互為反函數——它們的圖形對直線 y = x 完全對稱。有理指數則把根式寫成次方:

x^1/n = ⁿ√x , x^m/n = (ⁿ√x)^m , x^a·x^b = x^a+b

看對稱: y = x² 把 2 送到 4;y = √x 把 4 送回 2。兩條曲線像照鏡子一樣夾著 y = x——這就是「反函數」的樣子。

指數律三條就夠x^ax^b=x^a+b(同底相乘,指數相加)、(x^a)^b=x^ab(次方再次方,相乘)、(xy)^a=x^ay^a。其餘都由這三條推出。