8 題,對應二項分布、常態分布與 68–95–99.7 法則。先自己算,再點開解答對答案——二項期望值 np、變異數 np(1−p);常態題先把數值標準化成 z,再用 68/95/99.7 推比例。
某二項分布 B(10, 0.5)。求期望值、變異數與標準差。
期望值 E = np = 10·0.5 = 5。
變異數 Var = np(1−p) = 10·0.5·0.5 = 2.5。
標準差 σ = √2.5 ≈ 1.58。
E = 5,Var = 2.5,σ ≈ 1.58
投一枚公正硬幣 5 次,求「恰好 3 次正面」的機率。
二項機率 P = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ,此處 n=5, k=3, p=½。
= C(5,3)·(½)³·(½)² = 10·(½)⁵ = 10 · 1/32。
= 10/32 = 5/16。
5/16 ≈ 0.3125
擲一顆公正骰子 4 次,求「恰好 2 次出現 6 點」的機率。
出現 6 點的機率 p = 1/6,n = 4, k = 2。
P = C(4,2)·(1/6)²·(5/6)² = 6 · (1/36) · (25/36)。
= 6 · 25 / 1296 = 150/1296 = 25/216。
25/216 ≈ 0.116
某成績服從常態分布 μ = 50、σ = 10。約有多少比例落在 40 ~ 60 分之間?
40 = μ − σ、60 = μ + σ,即 ±1σ 範圍。
由 68–95–99.7 法則,±1σ 內約佔 68%。
約 68%
設 X ~ N(100, 15²)(μ=100, σ=15)。求 X = 130 的 z 分數。
z = (x − μ) / σ。
= (130 − 100) / 15 = 30/15 = 2。
z = 2(比平均高 2 個標準差)
承 2-1(μ=50, σ=10)。約有多少比例落在 50 ~ 60 分之間?
50 = μ、60 = μ + σ,是「平均到 +1σ」這半邊。
±1σ 共 68%,常態左右對稱,取一半 = 34%。
約 34%
設 X ~ N(60, 8²)。求 P(X > 76) 約為多少?
標準化:z = (76 − 60)/8 = 2,即問 P(Z > 2)。
±2σ 內約 95% → 兩側尾端共 5% → 單側尾端 = 5%/2 = 2.5%。
約 2.5%
超過 2 個標準差已相當罕見(約 1/40)。
某地男性身高服從常態分布 μ = 170、σ = 6(cm)。約有多少比例的人身高在 158 ~ 182 cm?
158 = 170 − 2·6 = μ − 2σ;182 = 170 + 2·6 = μ + 2σ。
±2σ 範圍,由法則約佔 95%。
約 95%