7 題,對應基本微分公式、切線、極值與增減。先自己算,再點開解答對答案——(xⁿ)′=n·xⁿ⁻¹、常數微分為 0;求極值先解 f′(x)=0,再看 f′ 兩側變號。
求下列函數的導數:
f(x) = x³、g(x) = x² + 3x − 1、h(x) = 2x³ − 4x + 7
用 (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹、常數微分為 0、逐項相加。
f′(x) = 3x²。
g′(x) = 2x + 3。
h′(x) = 6x² − 4(常數 7 微分為 0)。
3x²;2x + 3;6x² − 4
求 f(x) = x⁴ − 2x² + 5 的導數。
逐項:(x⁴)′ = 4x³、(−2x²)′ = −4x、(5)′ = 0。
f′(x) = 4x³ − 4x
求 f(x) = x² 在 x = 2 處的切線斜率與切線方程式。
f′(x) = 2x → 切線斜率 f′(2) = 4。
切點 (2, f(2)) = (2, 4)。
切線:y − 4 = 4(x − 2) → y = 4x − 4。
斜率 4,切線 y = 4x − 4
求 f(x) = x³ − 3x 在 x = 1 處的切線方程式。
f′(x) = 3x² − 3 → f′(1) = 3 − 3 = 0(水平切線)。
切點 (1, f(1)) = (1, 1 − 3) = (1, −2)。
斜率 0 的切線是水平線:y = −2。
y = −2
斜率為 0 → 此處為極值點(極小)。
求 f(x) = x² − 4x + 3 的極值。
f′(x) = 2x − 4 = 0 → x = 2。
開口向上(係數正),x = 2 為極小。
f(2) = 4 − 8 + 3 = −1。
極小值 −1(在 x = 2)
求 f(x) = x³ − 3x 的極大值與極小值。
f′(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 0 → x = −1 或 x = 1。
f′ 的符號:x<−1 為正、−1<x<1 為負、x>1 為正(增→減→增)。
x = −1 由增轉減 → 極大;f(−1) = −1 + 3 = 2。
x = 1 由減轉增 → 極小;f(1) = 1 − 3 = −2。
極大值 2(x=−1);極小值 −2(x=1)
求 f(x) = x³ − 6x² + 9x 的遞增/遞減區間與極值。
f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3)。
臨界點 x = 1, 3。符號:x<1 正、1<x<3 負、x>3 正。
遞增 (−∞, 1) 與 (3, ∞);遞減 (1, 3)。
x = 1 極大:f(1) = 1 − 6 + 9 = 4;x = 3 極小:f(3) = 27 − 54 + 27 = 0。
增:x<1、x>3;減:1<x<3;極大 4(x=1)、極小 0(x=3)