15 題,對應單元的三大主題:一維的平均數與標準差、散布圖與迴歸直線、相關係數 r。先自己算、先畫圖,再點開解答對觀念——標準差記得除以 n,r 記得只看線性。
有一組資料 2, 4, 5, 6, 8(共 5 筆)。求它的平均數 x̄與標準差 σ。
平均數:x̄ = (2 + 4 + 5 + 6 + 8) ÷ 5 = 25 ÷ 5 = 5。
各筆離均差(x − x̄):−3、−1、0、1、3;平方後:9、1、0、1、9,總和 = 20。
變異數 σ2 = 離均差平方和 ÷ n = 20 ÷ 5 = 4(高中定義除以 n)。
標準差 σ = √4 = 2。
x̄ = 5,σ = 2
甲、乙兩組資料如下,兩組平均數相同。請算出各自的標準差,判斷哪一組比較分散。
| 組別 | 資料 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 甲 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 乙 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
兩組平均數皆為 x̄ = 30 ÷ 5 = 6。
甲:離均差 −2、−1、0、1、2,平方和 = 4+1+0+1+4 = 10 → σ甲2 = 10 ÷ 5 = 2,σ甲 = √2 ≈ 1.41。
乙:離均差 −4、−2、0、2、4,平方和 = 16+4+0+4+16 = 40 → σ乙2 = 40 ÷ 5 = 8,σ乙 = √8 = 2√2 ≈ 2.83。
乙較分散(σ乙 = 2√2 > σ甲 = √2,恰為 2 倍)
平均一樣不代表散開一樣;乙的資料離中心更遠,標準差更大。
某 5 位同學考試分數為 70, 72, 74, 76, 78。老師發現登記時每人都少算 5 分,決定全班各加 5 分。加分後的平均數與標準差各如何變化?
原平均 x̄ = 370 ÷ 5 = 74;離均差 −4、−2、0、2、4,平方和 = 40 → σ2 = 8,σ = √8 = 2√2 ≈ 2.83。
全體同加一個常數,每筆與平均的相對位置都沒變(平均也跟著 +5),所以離均差完全不變。
平均數 74 → 79(加 5);標準差不變,仍為 2√2 ≈ 2.83
重點:資料整體平移只搬動中心,不改變散開程度,σ 不變。
某組資料的平均數 x̄ = 8、標準差 σ = 5。若把每筆資料 x 都換成 y = 2x − 3,求新資料 y 的平均數與標準差。
平均數會照樣做線性變換:ȳ = 2·x̄ − 3 = 2·8 − 3 = 13。
標準差只受「同乘的倍數」影響,乘以 k 會使 σ 變成 |k| 倍;「減 3」是平移,不影響散開程度。
σy = |2| · 5 = 10。
ȳ = 13,σy = 10
注意:若換成 y = −2x + 100,標準差仍是 |−2|·5 = 10(取絕對值,負號不影響散開)。
甲、乙兩位射手各射 5 發,環數如下。兩人平均都是 8 環,問誰比較穩定(標準差較小)?
| 射手 | 5 發環數 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 甲 | 7 | 8 | 8 | 8 | 9 |
| 乙 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
兩人平均都是 8。比穩定度只要比變異數(σ2)大小即可,不必真的開根號。
甲:離均差 −1、0、0、0、1,平方和 = 2 → σ甲2 = 2 ÷ 5 = 0.4。
乙:離均差 −2、−1、0、1、2,平方和 = 10 → σ乙2 = 10 ÷ 5 = 2。
甲較穩定(σ甲2 = 0.4 < σ乙2 = 2,故 σ甲 < σ乙)
σ甲 = √0.4 ≈ 0.63、σ乙 = √2 ≈ 1.41。標準差越小,成績越集中在平均附近,越穩定。
一組 6 筆資料的平均數為 10、標準差為 √5。今刪去其中剛好等於平均數(=10)的一筆資料,剩下 5 筆。新標準差會變大、變小,還是不變?請計算。
先還原「離均差平方和」:σ2 = 5,n = 6 → 離均差平方和 = 6 × 5 = 30。
被刪的那筆等於平均 10,它的離均差 = 10 − 10 = 0,對平方和的貢獻是 02 = 0。
刪掉後總和不變(仍是 30);又原總和 = 60,刪去 10 後 = 50,新平均 = 50 ÷ 5 = 10(平均沒變)。
新變異數 = 30 ÷ 5 = 6 → 新標準差 = √6 ≈ 2.45。
變大:σ 從 √5 ≈ 2.24 增為 √6 ≈ 2.45
關鍵:分子(平方和)沒減少,分母 n 卻從 6 縮成 5,商自然變大。刪掉「最靠近平均」的點,反而讓整體看起來更分散。
一組雙變數資料的平均數為 x̄ = 5、ȳ = 12,且迴歸直線的斜率為 2。求迴歸直線方程式。
迴歸直線一定通過資料的中心點 (x̄, ȳ) = (5, 12)。
用點斜式:ŷ − 12 = 2(x − 5) → ŷ = 2x − 10 + 12 = 2x + 2。
ŷ = 2x + 2
驗算:代入 x = 5 得 ŷ = 12 ✓,確實通過中心點。
某組資料的迴歸直線為 ŷ = 1.5x + 0.5,已知 x̄ = 4。
(1) 求 ȳ。 (2) 預測 x = 8 時的 y 值。
(1) 迴歸直線過中心點,把 x̄ = 4 代入即得 ȳ:ȳ = 1.5 × 4 + 0.5 = 6.5。
(2) 預測就是把 x 代入迴歸式:ŷ = 1.5 × 8 + 0.5 = 12.5。
ȳ = 6.5;x = 8 時預測 y ≈ 12.5
x = 8 若落在原始資料範圍內屬「內插」,較可靠;超出範圍則是「外插」,要小心。
迴歸直線是用最小平方法求出的。
(1) 它讓哪一個量達到最小? (2) 為什麼不直接讓「各殘差的總和」最小就好?
(1) 它讓所有點的殘差平方和 Σ(y − ŷ)2 最小。殘差 = 資料點的實際 y 減去直線預測的 ŷ,也就是點到直線的垂直落差。
(2) 殘差有正有負(點在線上方為正、下方為負)。若直接相加,正負會互相抵消——事實上任何通過中心點 (x̄, ȳ) 的直線,殘差和都會等於 0,完全分不出好壞。
改取平方後,每一項都非負,不會抵消,才能真正衡量「整體偏離程度」;而且平方會放大大偏差的懲罰,逼直線盡量貼近所有點。
(1) 殘差平方和 Σ(y − ŷ)2 最小 (2) 避免正負殘差相互抵消
某研究以 8~14 歲兒童的資料,得到身高對年齡的迴歸直線 ŷ = 6x + 70(cm)。小明用它預測 40 歲成人的身高為 6 × 40 + 70 = 310 cm。這個預測合理嗎?為什麼?
不合理。這條迴歸直線是用 8~14 歲的資料建立的,它描述的線性關係只在這個年齡區間內成立。
用 x = 40 去預測,遠遠超出原始資料的範圍,這叫外插(外推)。現實中人到成年就停止長高,身高與年齡早已不再是這條直線的關係,硬套才會得到 310 cm 這種荒謬值。
不合理:x = 40 屬於外插,已超出模型適用範圍
結論:迴歸直線的預測只在資料涵蓋的範圍內(內插)較可信,外插要非常謹慎。
下列四個相關係數中,哪一個代表最強的線性關係?哪一個代表幾乎沒有線性關係?
r = 0.3、r = −0.9、r = 0.05、r = 0.6
線性關係的強弱看 |r| 的大小(越接近 1 越強、越接近 0 越弱),與正負號無關——正負只表示方向。
|0.3| = 0.3、|−0.9| = 0.9、|0.05| = 0.05、|0.6| = 0.6。最大的是 0.9,最小的是 0.05。
最強:r = −0.9(強負相關);幾乎無線性關係:r = 0.05
易錯:別以為「r = 0.6 比 r = −0.9 強」,−0.9 的 |r| 較大,線性關係其實更強。
已知兩變數的相關係數 r = −0.8。問其迴歸直線的斜率為正還是負?散布圖大致呈上升還是下降趨勢?
r 的正負號與迴歸直線斜率的正負號一致。r = −0.8 < 0,所以斜率為負。
斜率為負代表 x 變大時 y 傾向變小,點雲由左上往右下排列。
斜率為負,散布圖呈下降趨勢
而 |r| = 0.8 頗接近 1,表示這個下降的線性關係還相當明顯。
甲同學算出某組資料的相關係數為 r = 1.2,老師說一定算錯了。
(1) 為什麼 r = 1.2 不可能? (2) 若 r 剛好等於 1,代表什麼?
(1) 相關係數的範圍恆為 −1 ≤ r ≤ 1,絕不可能超過 1。算出 1.2 表示計算過程一定有錯。
(2) r = 1 代表完全正線性相關:所有資料點恰好落在同一條斜率為正的直線上,一點都不偏離。
(1) r 必落在 [−1, 1],1.2 超界 (2) r = 1 表示所有點恰在一條上升直線上(完全正線性)
同理 r = −1 表示所有點恰在一條下降直線上(完全負線性)。
某城市統計發現,「冰淇淋銷量」與「溺水人數」有很強的正相關(r ≈ 0.9)。能不能因此說「吃冰淇淋導致溺水」?請說明。
不能。相關 ≠ 因果:高相關只代表兩個量會一起變動,不代表其中一個是另一個的原因。
這裡真正的推手是背後的第三個變因——氣溫(季節)。天氣熱時,買冰淇淋的人變多;同時去玩水的人也變多,溺水事故因此增加。是「熱天」同時拉高了兩者,並非冰淇淋造成溺水。
不能。兩者只是同受「氣溫」這個潛在變因影響,並無因果關係
判斷因果要靠實驗控制或機制論證,單看 r 高低絕不足以下因果結論。
有一組資料 (x, y) 如下:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
(1) 直觀上 x 與 y 有沒有關係? (2) 計算其相關係數 r,並說明這代表什麼。
(1) 有,而且是完全確定的關係:每一筆都滿足 y = x2。畫出來是一條開口向上的拋物線。
(2) 先算平均:x̄ = 0,ȳ = (4+1+0+1+4) ÷ 5 = 2。相關係數的分子是 Σ(x − x̄)(y − ȳ),因 x̄ = 0,即 Σ x(y − 2):
(−2)(2) + (−1)(−1) + (0)(−2) + (1)(−1) + (2)(2) = −4 + 1 + 0 − 1 + 4 = 0。
分子為 0,故 r = 0。
(1) 有(y = x2) (2) r = 0,但兩者其實關係極強
重點:r = 0 只代表「沒有線性關係」,不代表沒有關係!這裡是完美的非線性(拋物線)關係。永遠要先畫散布圖,別只看 r。