18 題,對應單元的四大主題:實數系、絕對值即距離、絕對值不等式、根式與指數律。先自己算,再點開解答對答案——不會的題把觀念補回教學頁。
下列各數,哪些是無理數?
√9、√8、0.3̇ (=0.333…)、π、22/7、√2 · √2
逐一化簡:√9 = 3(有理)、√8 = 2√2(無理)、0.333… = 1/3(有理)、π(無理)、22/7(有理,分數)、√2·√2 = 2(有理)。
無理數:√8 與 π
提醒:22/7 只是 π 的近似值,它本身是有理數;帶根號未必無理(√9=3)。
已知 √2 是無理數。請說明 √2 + 1 也是無理數。
用反證法。假設 √2 + 1 是有理數,設它等於 r(有理數)。
則 √2 = r − 1。有理數減有理數仍是有理數,所以 √2 會是有理數。
這與「√2 是無理數」矛盾,故假設錯誤。√2 + 1 為無理數
關鍵:有理數對加減乘除封閉,「有理 ± 無理 = 無理」。
求下列各值(√5 ≈ 2.236):
|−7|、|3 − 8|、|5 − 5|、|2 − √5|
|−7| = 7;|3 − 8| = |−5| = 5;|5 − 5| = 0。
|2 − √5|:因為 √5 ≈ 2.236 > 2,括號內為負,取相反數 → √5 − 2。
7、5、0、√5 − 2
數線上 A 點座標 −2,B 點座標 6。求 A、B 兩點的距離與中點座標。
距離 = |6 − (−2)| = |8| = 8。
中點 = (−2 + 6) / 2 = 2。
距離 8,中點座標 2
解方程式 |2x − 3| = 5。
「到某數距離 = 5」表示括號內等於 +5 或 −5:
2x − 3 = 5 → 2x = 8 → x = 4;或 2x − 3 = −5 → 2x = −2 → x = −1。
x = 4 或 x = −1
求 |x − 1| + |x − 5| 的最小值,並說明 x 在什麼範圍時達到。
把式子讀成:x 到 1 的距離 + x 到 5 的距離。
當 x 落在 1 與 5 之間(含端點)時,兩段距離相加剛好等於 1 到 5 的距離 4;x 跑到區間外則更大。
最小值 4,發生在 1 ≤ x ≤ 5
求 f(x) = |x − 2| − |x + 1| 的最大值與最小值。
以分界點 −1、2 分三段討論:
① x ≥ 2:(x−2) − (x+1) = −3(定值)。
② −1 ≤ x < 2:(2−x) − (x+1) = 1 − 2x,從 x=−1 的 3 遞減到 x=2 的 −3。
③ x < −1:(2−x) − [−(x+1)] = (2−x) + (x+1) = 3(定值)。
綜合三段,函數值恰好在 −3 到 3 之間變動。最大值 3,最小值 −3
直覺:距離差最多就是兩定點的距離 |2 − (−1)| = 3,故值域為 [−3, 3]。
解不等式 |x − 2| < 3,並用區間表示。
「x 到 2 的距離小於 3」→ 從 2 往左右各走 3。
2 − 3 < x < 2 + 3 → −1 < x < 5。
−1 < x < 5,即 (−1, 5)
解 |x + 1| ≤ 4。
|x + 1| = |x − (−1)|,即 x 到 −1 的距離 ≤ 4。
−1 − 4 ≤ x ≤ −1 + 4 → −5 ≤ x ≤ 3。
−5 ≤ x ≤ 3,即 [−5, 3]
解 |x − 1| > 2。
「距離大於 2」→ x 跑到 1 的兩側,分成兩段:
x − 1 > 2 → x > 3;或 x − 1 < −2 → x < −1。
x < −1 或 x > 3,即 (−∞, −1) ∪ (3, ∞)
解 1 < |x − 3| ≤ 4。
拆成兩個條件,再取交集(x 到 3 的距離同時 >1 且 ≤4)。
|x − 3| ≤ 4 → −1 ≤ x ≤ 7。
|x − 3| > 1 → x > 4 或 x < 2。
取交集:[−1, 7] 與「x<2 或 x>4」相交 → [−1, 2) ∪ (4, 7]。
−1 ≤ x < 2 或 4 < x ≤ 7
端點:距離=4 保留(≤),距離=1 排除(嚴格>),所以 −1、7 是實心,2、4 是空心。
計算(答成整數):
2³ · 2⁴、(3²)³、(2 · 5)²、2⁵ ÷ 2²
同底相乘指數相加:2³·2⁴ = 2⁷ = 128。
次方再次方相乘:(3²)³ = 3⁶ = 729。
乘積各自次方:(2·5)² = 2²·5² = 4·25 = 100。
同底相除指數相減:2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8。
128、729、100、8
求值:8^(1/3)、16^(3/4)、27^(2/3)、4^(−1/2)。
8^(1/3) = ³√8 = 2。
16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8。
27^(2/3) = (³√27)² = 3² = 9。
4^(−1/2) = 1 / 4^(1/2) = 1/2。
2、8、9、1/2
化簡 √50 − √18 + √8。
各自提出完全平方因數:√50 = 5√2、√18 = 3√2、√8 = 2√2。
5√2 − 3√2 + 2√2 = (5 − 3 + 2)√2 = 4√2。
4√2
化簡 1 / (√3 − 1),使分母不含根號。
分子分母同乘共軛 (√3 + 1):
= (√3 + 1) / [(√3 − 1)(√3 + 1)] = (√3 + 1) / (3 − 1) = (√3 + 1) / 2。
(√3 + 1) / 2
解下列方程式:2^x = 32、3^x = 1/9、4^x = 8。
化成同底再比較指數。
2^x = 32 = 2⁵ → x = 5。
3^x = 1/9 = 3^(−2) → x = −2。
4^x = 8 → (2²)^x = 2³ → 2x = 3 → x = 3/2。
x = 5、x = −2、x = 3/2
化簡 √(3 + 2√2)(化成 √a + √b 的形式)。
設 √(3 + 2√2) = √a + √b。兩邊平方:a + b + 2√(ab) = 3 + 2√2。
比對:a + b = 3、ab = 2。→ a、b 是 t² − 3t + 2 = 0 的兩根 → t = 1, 2。
故 = √2 + √1 = √2 + 1。驗算:(√2 + 1)² = 2 + 2√2 + 1 = 3 + 2√2 ✓。
√2 + 1
設 a, b > 0,化簡 (a^(1/2) · b^(−1/3))⁶ ÷ (a · b)²。
分子:(a^(1/2)·b^(−1/3))⁶ = a^(6·1/2) · b^(6·(−1/3)) = a³ · b^(−2)。
分母:(a·b)² = a² · b²。
相除,指數相減:a^(3−2) · b^(−2−2) = a¹ · b^(−4) = a / b⁴。
a / b⁴