Formula Sheet · 自然組 19 單元
公式速查表
三年所有核心公式,一頁掃完。每條後面附「何時用 / 為什麼」的一句話提示。想看圖解與推導,點單元名回到互動頁。
高一 必修數學
|x − a| = 兩點距離
|x − a| < r ⟺ a−r < x < a+r
xm/n = (n√x)m
xᵃ·xᵇ = xᵃ⁺ᵇ、(xᵃ)ᵇ = xᵃᵇ
絕對值一律讀成「距離」,不等式秒解。
二次頂點式 y = a(x−h)²+k，頂點 (h,k)
判別式 Δ = b²−4ac（正2根/0重根/負無根）
餘式定理：f(x)÷(x−a) 餘 f(a)
因式定理：f(a)=0 ⟺ (x−a) 為因式
配方看頂點;判別式數圖形與 x 軸交點。
y = logax ⟺ aʸ = x
log(xy) = log x + log y
log(x/y) = log x − log y
log xⁿ = n·log x
對數把乘除變加減;指對數互為反函數。
等差 aₙ = a₁+(n−1)d，Sₙ = n(a₁+aₙ)/2
等比 aₙ = a₁rⁿ⁻¹，Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r)
無窮等比 S = a₁/(1−r)（|r|<1）
等差=直線、等比=指數;|r|<1 才收斂。
P(n,r) = n! / (n−r)!（在意順序）
C(n,r) = n! / [r!(n−r)!]（不在意順序）
C(n,r) = C(n−1,r−1)+C(n−1,r)
(a+b)ⁿ = Σ C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ
換順序算不算不同 → 排列 / 組合。
P = 有利結果數 / 樣本空間總數
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
獨立：P(A∩B) = P(A)·P(B)
期望值 E(X) = Σ xᵢ·pᵢ
先列樣本空間;條件機率=縮小分母到 B。
標準差 σ = √( Σ(xᵢ−x̄)² / n )
相關係數 −1 ≤ r ≤ 1
迴歸直線：最小平方（殘差平方和最小）
σ 看散開;r 看線性整齊度(≠因果)。
高二 數學 A
sin²θ + cos²θ = 1、tan θ = sin/cos
正弦定理 a/sinA = 2R
餘弦定理 c² = a²+b²−2ab·cosC
y = A sin(B(x−C))+D，週期 = 2π/B
單位圓看正負;兩邊夾角求對邊用餘弦。
點到直線 d = |ax₀+by₀+c| / √(a²+b²)
圓 (x−h)²+(y−k)² = r²
直線與圓：比 d 與 r（< 交 / = 切 / > 離）
關係題不解聯立,算圓心到線距離比半徑。
a·b = |a||b|cosθ = x₁x₂+y₁y₂
a ⊥ b ⟺ a·b = 0
投影長 = (a·b)/|a|
分點 P = (1−t)A + tB
內積判垂直、求夾角;分點=加權平均。
|v| = √(x²+y²+z²)
|a × b| = 平行四邊形面積，a×b ⊥ a,b
體積 = |a·(b×c)|（三階行列式）
內積出數、外積出向量(法向量/面積)。
平面 ax+by+cz = d，法向量 (a,b,c)
點到平面 d = |ax₀+by₀+cz₀−d| / √(a²+b²+c²)
直線 (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + t(l,m,n)
係數即法向量;夾角由法向量/方向向量內積。
det [a b; c d] = ad − bc = 面積倍率
反矩陣 = 1/det · [d −b; −c a]（det≠0）
det = 0 → 不可逆、聯立無唯一解
矩陣=平面變形;det 是面積縮放與可逆判準。
拋物線 x²=4py，焦(0,p) 準 y=−p（到焦=到準）
橢圓 x²/a²+y²/b²=1，c²=a²−b²，PF₁+PF₂=2a
雙曲線 x²/a²−y²/b²=1，c²=a²+b²，|PF₁−PF₂|=2a
用「到焦點距離」定義:等於/和/差固定。
高三 選修數學甲
導數定義 f′(a) = limh→0 [f(a+h)−f(a)]/h
連續 ⟺ limx→a f(x) = f(a)
左極限 = 右極限，極限才存在
割線 h→0 變切線;極限看趨勢不看落點。
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹、(c)′ = 0
(f±g)′ = f′±g′
f′>0 遞增、f′<0 遞減、f′=0 臨界點
導數=切線斜率;解 f′=0 找極值。
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C（n≠−1）
定積分 = 有號面積（上正下負）
基本定理 ∫ₐᵇ f dx = F(b)−F(a)，F′=f
面積=無限細長方形和;積分=微分逆運算。
兩曲線面積 = ∫(上 − 下) dx
旋轉體體積 V = ∫ π[f(x)]² dx
切成薄片(面積條/圓盤),寫單片再積分。
二項 B(n,p)：E = np，Var = np(1−p)
常態 68–95–99.7（±1σ / ±2σ / ±3σ）
標準化 z = (x − μ) / σ
n 大→鐘形;統計推論建立在抽樣近似常態。